Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den Monoidhomomorphismus
\mathdisp {\N^2 \longrightarrow \Z,\, e_1 \longmapsto 1,\, e_2 \longmapsto -1} { . }
Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper $K$) und den zugehörigen $K$-Spektren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M} }
{ =} { { \left\{ n \in N \mid \text{es gibt } k \in \N_+ \text{ mit } kn \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Untermonoid von $N$ gegeben ist, das $M$ umfasst.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {kommutativen}{}{} \definitionsverweis {Monoide}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \N^r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ = }{ \N^s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} von $M$ nach $N$ eindeutig durch eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} \zusatzklammer {mit $r$ Spalten und $s$ Zeilen} {} {} mit Einträgen aus $\N$ bestimmt ist.

}
{Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ = }{ \Gamma(M) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine kommutative \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} { M } { G } {} in eine Gruppe $G$ gibt es einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\Gamma} {G } {,} der $\varphi$ fortsetzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{} mit zugehöriger \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ = }{ \Gamma(M) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{ $M$ ist ein \definitionsverweis {Monoid mit Kürzungsregel}{}{.} }{Die kanonische Abbildung \maabb {} { M } {\Gamma(M)} {} ist injektiv. }{ $M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Beweise die $R$-\definitionsverweis {Algebraiso\-mor\-phie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[\Z^n] }
{ \cong} { R[X_1 , \ldots , X_n]_{X_1 \cdots X_n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den $K$-Spektren
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }= \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , K)}{} und
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[N] \right) }= \operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( N , K)}{.} Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus
\mathl{\varphi:M \rightarrow N}{} die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Ein \definitionswort {Filter}{} $F$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Monoid}{}{} $M$ ist ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{,} das zusätzlich \definitionswort {teilerstabil}{} ist. D.h. falls $f \in F$ ist und $g|f$ gilt, so ist auch $g \in F$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{.} Zeige, dass es in $M$ einen kleinsten \definitionsverweis {Filter}{}{} gibt und dass dieser eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ der \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[M] }
{ \subseteq }{ K[N] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {endlich}{}{} ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ kn }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ (\Q,+) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die additive Gruppe der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{.} Bestimme
\mathl{\Q\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( \Q[M] \right) }}{.} Wie sieht es aus, wenn man $\Q$ durch $\R$ ersetzt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} { M } { N } {} ein \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus
\mathl{K-\operatorname{Spec} \, K[N]}{,} die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ \in }{ K-\operatorname{Spek} \,(K[M]) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}  \zusatzklammer {das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung $M \mapsto 1$ entspricht} {} {} abgebildet werden, selbst die Struktur eines $K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten Monoide der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { ( \Z/( m ) ,+) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Beschreibe
\mathl{K-\operatorname{Spec} { \left( K[M] \right) }}{} allgemein sowie für die \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \R, {\mathbb C}, \Z/( 5 ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde die \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} von
\mathl{{\mathbb C} [ \Z/( 3 ) ]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Definiere eine Bijektion zwischen den folgenden Objekten. \aufzaehlungvier{ \definitionsverweis {Filter}{}{} in $M$. }{
\mathl{\operatorname{Mor}_{ \operatorname{mon} } \, ( M , (\{0,1\},1,\cdot))}{.} }{
\mathl{{\mathbb F}_2-\operatorname{Spek} \, (M)}{} }{
\mathl{{ \left\{ \varphi \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } \mid \varphi(M) \subseteq \{0,1\} \right\} }}{.} \zusatzklammer {Dabei ist $K$ ein Körper.} {} {} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Dann können wir den \definitionsverweis {Monoidring}{}{} $K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter $M$ ein $K[G]$-Modul. Zeige, dass \aufzaehlungzweiabc{ $M$ nichts anderes ist als ein $K$-Vektorraum $V$ zusammen mit einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabb {\rho} { G} { \operatorname{Aut}_K(V) } {.} }{ein $K[G]$-Modulhomomorphismus \maabb {\varphi} { M } { M } {} eine $K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \rho(g) }
{ = }{ \rho \circ \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }

}
{Bemerkung: $\rho$ heißt dann eine \stichwort {Darstellung} {} von $G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als $G$ und man kann mit Hilfe von $\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über $G$ selbst gewinnen.} {}