Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität $n$ schneiden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ 2x^4+3x^2-x+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene Kurve mit dem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (1,5) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde eine Koordinatentransformation derart, dass $P$ zum Punkt $(0,0)$ wird und die Tangente an $P$ zur $x$-Achse.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine monomiale ebene Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(X^d -Y^e) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit $d,e$ teilerfremd} {} {} gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden $G$ durch den Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^3+Y^3-3XY) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.

}
{Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht $3$ ist.} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{} der beiden \definitionsverweis {monomialen Kurven}{}{}
\mathdisp {C=V(X^5 -Y^2) \text{ und } D=V(X^7 -Y^3)} { }
im Nullpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ = }{ V(G) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {ebene algebraische Kurven}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein glatter Punkt, sodass der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ (K[X,Y]_{ {\mathfrak m} } )/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{mult} _{ { P} } ( F , G ) }
{ =} { \operatorname{ord} \, (G) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\operatorname{ord} \,$ die Ordnung im Bewertungsring $R$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(Y-X^2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Kreis $D$ mit Mittelpunkt $(0,r)$ und Radius $r$. Bestimme die Schnittpunkte von $C$ und $D$ und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(XY-1,X^2+Y^2-a)}{} \zusatzklammer {für jedes
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die ${\mathbb C}$-Dimensionen der beteiligten Ringe an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY+1 \right) }}{} die \definitionsverweis {singulären Punkte}{}{} über $\R$ und über ${\mathbb C}$. Man gebe jeweils die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ 2x^4+3x^2-x+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene Kurve im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (1,5) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in den in Aufgabe 26.2 gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in $P$ entlang der Tangente.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe ist vermutlich schwieriger.


\inputaufgabe
{}
{

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven
\mathl{C=V(X^d -Y^e)}{} und
\mathl{D=V(X^r -Y^s)}{} gegeben (mit $d,e$ und $r,s$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.

}
{} {}