Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 26

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man gebe für jedes ein Beispiel von zwei aus der Schule bekannten ebenen algebraischen Kurven, die sich in genau einem Punkt mit Schnittmultiplizität schneiden.


Aufgabe

Betrachte die durch gegebene Kurve mit dem Punkt . Finde eine Koordinatentransformation derart, dass zum Punkt wird und die Tangente an zur -Achse.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine monomiale ebene Kurven (mit teilerfremd) gegeben. Berechne die Schnittmultiplizität der Kurve mit einer jeden Geraden durch den Nullpunkt.


Aufgabe *

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes

mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ist.

Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ist.



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Schnittmultiplizität der beiden monomialen Kurven

im Nullpunkt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und seien und ebene algebraische Kurven. Es sei ein glatter Punkt, so dass der lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist. Zeige, dass die Beziehung

gilt, wobei die Ordnung im Bewertungsring bezeichnet.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Parabel und den Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Bestimme die Schnittpunkte von und und die jeweiligen Schnittmultiplizitäten.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für den Restklassenring (für jedes ) eine Beschreibung als Produktring von lokalen Ringen. Man gebe dabei die -Dimensionen der beteiligten Ringe an.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kurve die singulären Punkte über und über . Man gebe jeweils die Multiplizität und die Tangenten an.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die durch gegebene Kurve im Punkt in den in Aufgabe 26.2 gefundenen Koordinaten. Bestimme die Potenzreihe für die Kurve in entlang der Tangente.


Die folgende Aufgabe ist vermutlich schwieriger.

Aufgabe (8 Punkte)

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven und gegeben (mit und teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.



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