Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^3+Y^2-XY+X)$

eine nichtkonstante Potenzreihenlösung  $X=F(Y)$  im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.

Aufgabe *

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

$V(X^{2}Y+X^2+Y^2-5XY+Y)$

eine nicht-konstante Potenzreihenlösung  $Y=F(X)$  im Nullpunkt bis zur fünften Ordnung.

Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Komplettierung eines lokalen Ringes.

Aufgabe

Betrachte zu einem lokalen Ring $R$ mit maximalem Ideal $𝔪$ das Diagramm

$⟶R/{𝔪}^4⟶R/{𝔪}^3⟶R/{𝔪}^2⟶R/𝔪.$

Dabei sind die Abbildungen die kanonischen Projektionen ${\phi }_n:R/{𝔪}^{n+1}\to R/{𝔪}^n$, die durch die Idealinklusionen  ${𝔪}^{n+1}\subseteq {𝔪}^n$  induziert werden. Eine Folge von Elementen  $a_n\in R/{𝔪}^n$  heißt verträglich, wenn  ${\phi }_n(a_{n+1})=a_n$  für alle $n$ gilt. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller verträglichen Elemente (diesen Ring nennt man die Komplettierung von $R$). Zeige ferner, dass es einen kanonischen Ringhomomorphismus von $R$ in die Komplettierung gibt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein eindimensionaler lokaler noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass die kanonische Abbildung von $R$ in die Komplettierung von $R$ injektiv ist.

Bemerkung: Die Injektivität gilt für jeden noetherschen lokalen Ring, ist aber schwieriger zu beweisen.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $I$ ein Ideal. Zeige, dass durch

$\{x+I^n|n\in \mathbb{N}\}(x\in R)$

Umgebungsbasen definiert werden. Zeige außerdem, dass die auf $R$ induzierte Topologie genau dann hausdorffsch ist, wenn  $\bigcap _n{I}^n=\{0\}$. 

Bemerkung: Die Komplettierung eines lokalen Ringes bezüglich seines maximalen Ideals entspricht dann genau der (topologischen) Komplettierung bezüglich dieser Topologie.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Kardioide

$V({(X^2+Y^2)}^2-2X(X^2+Y^2)-Y^2)$

im Punkt $(2,0)$. Bestimme eine formale Parametrisierung (bis zum fünften Term) der Kurve in diesem Punkt in Abhängigkeit von einem Tangentenparameter.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Einheitskreis  $X^2+Y^2=1$  im Punkt $(1,0)$. Bestimme Potenzreihen $G$ und  $H\in K[[T]]$  mit den Anfangsbedingungen $a_0=1,a_1=0,b_0=0,b_1=1$ und mit  $G(T{)}^2+H(T{)}^2=1$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Neilsche Parabel  $C=V(Y^3-X^2)$  im Punkt $(1,1)$. Finde eine Parametrisierung der Kurve in diesem Punkt mit Potenzreihen (bis zum fünften Glied) derart, dass eine Potenzreihe davon ein lineares Polynom ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Eine formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil ist eine unendliche Summe der Form

$F=\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n\text{ mit }{a}_n\in K\text{ und }k\in \mathbb{Z}.$

Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen (mit geeigneten Ringoperationen) isomorph zum Quotientenkörper des Potenzreihenringes $K[[T]]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[T]$ der Polynomring in einer Variablen. Es sei $R$ die Lokalisierung von $K[T]$ am maximalen Ideal  $𝔪=(T)$.  Zeige, dass die Komplettierung von $R$ isomorph zum Potenzreihenring $K[[T]]$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $R=K[[T]]$  der Potenzreihenring Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für  $K=\mathbb{Z}/(7)$  das Element $T+2$ eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  $F\in K[X,Y]$  ein irreduzibles Polynom und  $R=K[X,Y]/(F)$  der integre Koordinatenring der ebenen Kurve  $C=V(F)$.  Es sei $R\to S=R^{\mathrm{norm}}$ die Normalisierung von $R$ und es sei $R\to K[[T]]$ der Ringhomomorphismus zu einer nichtkonstanten formalen Potenzreihenlösung der Kurve. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $S\to K[[T]]$ gibt derart, dass das Diagramm

$\begin{array}{cccc}R& \stackrel{}{⟶}& S& \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & K[[T]]& \end{array}$

kommutiert.

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (4 Punkte)

Zeichne mittels eines geeigneten Programms eine der Beispielkurven der Vorlesung sowie die verschiedenen dort berechneten polynomialen Approximationen.