Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf der Menge
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{} derart, dass der Quotient unter der Äquivalenzrelation der projektive $n$-dimensionale Raum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man definiere den Begriff \stichwort {projektiv-linearer Unterraum} {} eines projektiven Raumes ${\mathbb P}^{ n }_{ K }$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots ,X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak a}$ genau dann ein \definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{} ist, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ {\mathbb F}_{ q } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Berechne auf zwei verschiedene Arten, wie viele Elemente der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} ${\mathbb P}^{ n }_{ K}$ besitzt.

}
{} {}

Die folgenden drei Aufgaben besprechen die Zariski-Topologie auf den projektiven Räumen.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} auf dem \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{} wirklich eine \definitionsverweis {Topologie}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher \definitionsverweis {Körper}{}{} und ${\mathbb P}^{ n }_{ K}$ der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{.} Charakterisiere die \definitionsverweis {homogenen Ideale}{}{} ${\mathfrak a}$, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_+({\mathfrak a}) }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass der projektive Raum ${\mathbb P}^{ n }_{ K}$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ in der projektiven Ebene eindeutig eine projektive Gerade definieren, auf der beide Punkte liegen. Wie berechnet man die Geradengleichung aus den Koordinaten der Punkte?

}
{Bestimme die homogene Geradengleichung für die beiden Punkte
\mathl{(2,3,7)}{} und
\mathl{(1,5,-2)}{.}} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathbb P}^{ n }_{ K }$ ein \definitionsverweis {projektiver Raum}{}{} der Dimension $n$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X,Y }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{ n }_{ K } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} projektiv-lineare Unterräume der Dimension $r$ und $s$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r+s }
{ \geq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X \cap Y }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_m}{} eine endliche Ansammlung von Punkten in einem \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{} ${\mathbb P}^{ n }_{ K }$. Zeige: Dann gibt es eine homogene Linearform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ \in }{ K[X_0 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass all diese Punkte auf der durch $L$ definierten offenen Teilmenge $D_+(L)$ liegen.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe benötigt noch die folgende Definition:

Für ein \definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{} $I$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ A[X_0 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{} definiert man die \definitionswort {Sättigung}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Saturierung}{}} {} {} von $I$ als
\mathdisp {{ \left\{ r \in R \mid \text{es existiert ein } n \text{ mit } r \cdot (R_+)^n \subseteq I \right\} }} { . }
Dabei ist $R_+$ das \definitionsverweis {irrelevante Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigoplus_{d \geq 1}R_d }
{ = }{ (X_0 , \ldots , X_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ A[ X_0 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} mit der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Sättigung}{}{} eines \definitionsverweis {homogenen Ideals}{}{} $I$ wieder ein homogenes Ideal ist.

}
{} {}