Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 28

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}P=\left(a_{0},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung ${}U\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ derart gibt, dass ${}P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

Aufgabe

Es sei ${}D_{+}(L)\cong {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$, wobei ${}L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring ${}K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.

Aufgabe

Definiere zu jedem ${}n\in \mathbb {Z}$ das Potenzieren ${}x\mapsto x^{n}$ als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?

Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

$V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.

Aufgabe

Zeige, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiprojektive Varietäten und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Es sei ${}Y=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen ${}\varphi _{i}:\varphi ^{-1}(U_{i})\rightarrow U_{i}$ für jedes ${}i$ Morphismen sind

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

$\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}.$

Was folgt daraus für einen Morphismus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$?

Aufgabe

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

${}C=V{\left(Y-X^{3}+X+2\right)}\,.$

Definiere einen Isomorphismus zwischen ${}C$ und der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und dem projektiven Abschluss ${}{\bar {C}}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ fortsetzen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}={\mathbb {C} }$. Es sei ${}H\subset {\mathbb {K} }^{n+1}$ ein ${}n$-dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei ${}{\tilde {H}}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei ${}U\subseteq H$ eine in ${}H\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei ${}V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von ${}U$. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit ${}{\mathbb {K} }^{n+1}\setminus {\tilde {H}}$ offen ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kegelabbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

den Zariski-Abschluss im ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge ${}V({\mathfrak {a}})\cap {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}X$ eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper ${}L=K(X)$. Es seien ${}U$ und ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Teilmengen mit ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$. Zeige, dass

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{i\in I}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}})\,$

ist, wobei der Durchschnitt in ${}L$ genommen wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über ${}K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

${}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K\,.$

Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.