Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 28

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung derart gibt, dass in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.


Aufgabe

Sei , wobei eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.


Aufgabe

Definiere zu jedem das Potenzieren als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?


Aufgabe

Bestimme den projektiven Abschluss der durch

gegebenen Kardioide über den komplexen Zahlen und insbesondere die „Punkte im Unendlichen“.


Aufgabe

Zeige, dass die Kegelabbildung

ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.


Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass die Kegelabbildung

nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Seien und quasiprojektive Varietäten und sei eine stetige Abbildung. Es sei eine offene Überdeckung. Zeige, dass genau dann ein Morphismus ist, wenn die Einschränkungen für jedes Morphismen sind


Aufgabe

Sei ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring

Was folgt daraus für einen Morphismus ?


Aufgabe

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät normal ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

Definiere einen Isomorphismus zwischen und der affinen Geraden . Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen und dem projektiven Abschluss fortsetzen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei oder . Es sei ein -dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei eine in offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von . Zeige, dass der Durchschnitt von mit offen ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Kegelabbildung

den Zariski-Abschluss im des Bildes einer abgeschlossenen Menge .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine irreduzible quasiprojekive Varietät mit Funktionenkörper . Es seien und , , offene Teilmengen mit . Zeige, dass

ist, wobei der Durchschnitt in genommen wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und der projektive Raum. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen algebraischen Funktionen sind, d.h. es gilt

Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.



<< | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)