Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 28/latex

\setcounter{section}{28}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \left( a_0 , \, \ldots , \, a_n \right) }
{ \in }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt im \definitionsverweis {projektiven Raum}{}{.} Zeige, dass es eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \cong }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass $P$ in diesem affinen Raum dem Nullpunkt entspricht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{D_+(L) \cong { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \subset {\mathbb P}^{n}_{K}}{,} wobei $L$ eine homogene Linearform im zugehörigen Polynomring
\mathl{K[X_0 , \ldots , X_n]}{} sei. Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum die Zariski-Topologie auf dem affinen Raum induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere zu jedem
\mathl{n \in \Z}{} das Potenzieren
\mathl{x \mapsto x^n}{} als Morphismus der projektiven Gerade auf sich selbst. Wie sehen die Fasern unter diesem Morphismus aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{} über den komplexen Zahlen und insbesondere die \anfuehrung{Punkte im Unendlichen}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} ein Morphismus von quasiprojektiven Varietäten ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\} } {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} nicht \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $X$ und $Y$ \definitionsverweis {quasiprojektive Varietäten}{}{} und sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{Y= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine offene Überdeckung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} ist, wenn die Einschränkungen
\mathl{\varphi_i : \varphi^{-1} (U_i) \rightarrow U_i}{} für jedes $i$ Morphismen sind

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. Bestimme den globalen Schnittring
\mathdisp {\Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) }} { . }
Was folgt daraus für einen Morphismus \maabb {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } {?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man definiere und charakterisiere, wann eine irreduzible quasiprojektive Varietät \stichwort {normal} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Betrachte die affine ebene Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( Y-X^3+X+2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Definiere einen Isomorphismus zwischen $C$ und der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$. Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und dem \definitionsverweis {projektiven Abschluss}{}{} $\bar{C} \subset {\mathbb P}^{2}_{K}$ fortsetzen?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subset }{ {\mathbb K}^{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n$-dimensionaler \definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,} der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \cong }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offene Menge \zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {} und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Kegelabbildung}{}{} \maabbdisp {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}} {{\mathbb P}^{n}_{K} } {} den Zariski-Abschluss im ${\mathbb P}^{n}_{K}$ des Bildes einer abgeschlossenen Menge
\mathl{V( {\mathfrak a}) \cap { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } \setminus \{0\}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine irreduzible \definitionsverweis {quasiprojekive Varietät}{}{} mit Funktionenkörper
\mathl{L=K(X)}{.} Es seien $U$ und
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Teilmengen mit
\mathl{U=\bigcup_{i \in I} U_i}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ =} { \bigcap_{i \in I} \Gamma (U_i, {\mathcal O} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, wobei der Durchschnitt in $L$ genommen wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} über $K$. Zeige, dass die Konstanten die einzigen globalen \definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{} sind, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{n}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } \right) } }
{ =} { K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{Bemerkung: Diese Aussage gilt für jede zusammenhängende projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.} {}