Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 29

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass eine ebene projektive Kurve mit jeder projektiven Geraden in der projektiven Ebene einen nichtleeren Durchschnitt hat.


Aufgabe *

Sei und betrachte die beiden affinen ebenen algebraischen Kurven

Bestimme den Durchschnitt . Bestimme ferner die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf dem projektiven Abschluss bzw. ). Wenn man durch einen algebraisch abgeschlossenen Körper ersetzt, wie viele Punkte besitzt dann der Durchschnitt und wie viele davon liegen auf der unendlich fernen Geraden?


Aufgabe *

Sei ein Körper. Zeige, dass sämtliche lokale Ringe der projektiven Geraden isomorph zueinander sind. Man gebe eine möglichst einfache Beschreibung dieses Ringes.


Die Lemniskate von Bernoulli

Aufgabe

Bestimme für die durch gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in . Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.


Aufgabe

Betrachte die durch die homogene Gleichung

gegebene projektive Kurve über einem Körper der Charakteristik .

a) Bestimme die singulären Punkte der Kurve.

b) Zeige, dass durch die Zuordnung

eine wohldefinierte Abbildung

gegeben ist.

c) Zeige, dass die Bildpunkte von auf der Kurve liegen.

d) Welche Punkte in entsprechen den singulären Punkten der Kurve .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Seien homogene Polynome in Variablen gegeben, die alle den gleichen Grad besitzen. Zeige, dass es eine offene Menge gibt, auf der die Polynome einen Morphismus

definieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Punkt im projektiven Raum. Zeige, dass die Projektion des auf mit Zentrum durch die Matrix

gegeben ist, also durch die Abbildung


Die Tschirnhausen Kubik


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die durch gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das durch definierte Kartesische Blatt die unendlich fernen Punkte in und berechne die Multiplizität und die Tangenten in diesen Punkten.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die projektive Lemniskate von Bernoulli

einen surjektiven Morphismus auf eine projektive Quadrik an. Wie viele Punkte der Lemniskate werden dabei auf einen Punkt der Quadrik abgebildet?




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