Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesung 4/latex

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\setcounter{section}{4}






\zwischenueberschrift{Irreduzible affin-algebraische Mengen}




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {irreduzibel}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und es keine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{Y \cup Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {affin-algebraischen Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y,Z }
{ \subset }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}

Die Zariski-abgeschlossene Menge $V$ ist also irreduzibel genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ \neq} { \emptyset }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ Y \cup Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nur mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} möglich ist. Dasselbe folgt dann sofort für endliche Darstellungen.

Die Irreduzibilität ist eine rein topologische Eigenschaft, wobei man die obige Definition mit abgeschlossenen Mengen formulieren muss anstatt mit affin-algebraischen Mengen \zusatzklammer {den abgeschlossenen Mengen in der Zariski-Topologie} {} {.}

Die folgenden Bilder zeigen einige nicht irreduzible affin-algebraische Teilmengen. Was sind dabei die irreduziblen Komponenten \zusatzklammer {siehe unten} {} {?}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Delaunay_points.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Delaunay points.png } {} {Nü Es} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gerade_svg.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Gerade svg.svg } {} {Lokilech} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linear_space2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Linear space2.png } {} {Kmhkmh} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den affinen Raum
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{.} Wenn $K$ endlich ist, so besteht der Raum nur aus endlich vielen Punkten und nur die einpunktigen Teilmengen sind irreduzibel. Insbesondere ist der affine Raum außer bei
\mathl{n=0}{} nicht irreduzibel.

Bei unendlichem $K$ ist der affine Raum
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} hingegen irreduzibel. Es sei nämlich
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } =Y \cup Z}{} mit echten affin-algebraischen Teilmengen. D.h. für die offenen Komplemente
\mathl{U= { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \setminus Y}{} und
\mathl{W= { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \setminus Z}{} ist einerseits
\mathl{U,W \neq \emptyset}{,} aber
\mathl{U \cap W= \emptyset}{.} Das widerspricht aber Aufgabe 3.12.


}





\inputfaktbeweis
{Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{} mit \definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \,(V)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $V$ genau dann \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} wenn
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} kein Primideal. Bei
\mathl{\operatorname{Id} \, (V) =K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist
\mathl{V= \emptyset}{,} also ist $V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome
\mathl{F,G \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{FG \in \operatorname{Id} \, (V)}{,} aber
\mathl{F,G \not \in \operatorname{Id}\,(V)}{.} Dies bedeutet, dass es Punkte
\mathl{P,Q \in V}{} mit
\mathl{F(P) \neq 0}{} und
\mathl{G(Q) \neq 0}{} gibt. Wir betrachten die beiden Ideale
\mathl{{\mathfrak a}_1 =\operatorname{Id}\, (V)+(F)}{} und
\mathl{{\mathfrak a}_2 =\operatorname{Id} \, (V)+(G)}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a}_1), V( {\mathfrak a}_2) }
{ \subseteq} { V(\operatorname{Id}\, (V) ) }
{ =} {V }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Lemma 3.8  (3). Wegen \mathkor {} {P \not\in V({\mathfrak a}_1)} {und} {Q \not\in V({\mathfrak a}_2)} {} sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V({\mathfrak a}_1) \cup V({\mathfrak a}_2) }
{ =} { V({\mathfrak a}_1 \cdot {\mathfrak a}_2) }
{ =} { V( \operatorname{Id} \,(V) ) }
{ =} { V }
{ } { }
} {}{}{,} so dass eine nicht-triviale Zerlegung von $V$ vorliegt und somit $V$ nicht irreduzibel ist.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $V$ nicht irreduzibel. Bei
\mathl{V = \emptyset}{} ist
\mathl{\operatorname{Id}\, (V)=K[X_1 , \ldots , X_n]}{} kein Primideal. Es sei also
\mathl{V \neq \emptyset}{} mit der nicht-trivialen Zerlegung
\mathl{V=Y \cup Z}{.} Es sei
\mathl{Y=V({\mathfrak a}_1)}{} und
\mathl{Z=V({\mathfrak a}_2)}{.} Wegen
\mathl{Y \subset V}{} gibt es einen Punkt
\mathbed {P \in V=V(\operatorname{Id}\, (V))} {}
{P \not\in V( {\mathfrak a}_1 )} {}
{} {} {} {.} Also gibt es auch ein
\mathl{F \in {\mathfrak a}_1}{,}
\mathl{F(P) \neq 0}{,} und somit
\mathl{F \not \in \operatorname{Id} \, (V)}{.} Ebenso gibt es
\mathl{G \in {\mathfrak a}_2}{,}
\mathl{G \not\in \operatorname{Id} \, (V)}{.} Für einen beliebigen Punkt
\mathl{Q \in V=Y \cup Z}{} ist
\mathl{(FG)(Q)=0}{,} da $F$ auf $Y$ und $G$ auf $Z$ verschwindet. Also ist
\mathl{FG \in \operatorname{Id} \, (V)}{} und daher ist
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} kein Primideal.}
{}

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei $V$ eine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{.} Eine affin-algebraische Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt eine \definitionswort {irreduzible Komponente}{} von $V$, wenn sie \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W }
{ \subset }{ W' }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}

Ist $V$ irreduzibel, so ist $V$ selbst die einzige irreduzible Komponente von $V$. Wir werden später sehen, dass jede affin-algebraische Menge sich als eine endliche Vereinigung von irreduziblen Komponenten schreiben lässt.




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { Y^2+X^2(X+1)^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In den reellen Zahlen hat diese Gleichung zwei Lösungen: da ein reelles Quadrat nie negativ ist, kann $F$ nur dann $0$ sein, wenn beide Summanden null sind, und das impliziert einerseits
\mathl{Y=0}{} und andererseits
\mathl{X=0}{} oder
\mathl{X=-1}{.} Insbesondere ist die reelle Lösungsmenge nicht zusammenhängend und nicht irreduzibel (und das Verschwindungsideal zur reellen Situation ist sehr groß).

Betrachtet man $F$ dagegen über den komplexen Zahlen, so gibt es eine Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { (Y+ { \mathrm i} X(X+1))(Y- { \mathrm i} X(X+1)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in irreduzible Polynome. Dies zeigt zugleich, dass $F$ als Polynom in
\mathl{\R [X,Y]}{} irreduzibel ist \zusatzklammer {obwohl das reelle Nullstellengebilde nicht irreduzibel ist} {} {.} Die Nullstellenmenge über den komplexen Zahlen besteht aus den beiden Graphen
\mathl{Y= \pm { \mathrm i} X(X+1)}{,} die sich in \mathkor {} {(0,0)} {und} {(-1,0)} {} schneiden.

Bei der Gleichung
\mathl{Y^2+Z^2+X^2(X+1)^2}{} gibt es wieder nur zwei reelle Lösungspunkte, das Polynom ist aber sowohl reell als auch komplex betrachtet irreduzibel.


}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hydrant_Insel_Krk_Kroatien.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Hydrant Insel Krk Kroatien.jpg } {} {Usien} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten im affinen Raum
\mathl{\mathbb A^3_K}{} \zusatzklammer {\mathlk{K= \R}{}} {} {} die beiden \stichwort {Zylinder} {}
\mathdisp {S_1= { \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } \text{ und } S_2= { \left\{ (x,y,z) \mid y^2+z^2 = 1 \right\} }} { . }
Das sind beides irreduzible Mengen, wie wir später sehen werden \zusatzklammer {für $K$ unendlich} {} {.} Wie sieht ihr Durchschnitt aus? Der Durchschnitt wird durch das Ideal ${\mathfrak a}$ beschrieben, das durch
\mathl{X^2+Y^2-1}{} und
\mathl{Y^2+Z^2-1}{} erzeugt wird. Zieht man die eine Gleichung von der anderen ab, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2-Z^2 }
{ =} { (X-Z)(X+Z) }
{ \in} {{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die beiden einzelnen Faktoren gehören aber nicht zu ${\mathfrak a}$, da beispielsweise
\mathl{(1,0,-1)}{} ein Punkt des Schnittes ist, an dem
\mathl{X-Z}{} nicht verschwindet \zusatzklammer {Charakteristik $\neq 2$} {} {,} und
\mathl{(1,0,1)}{} ein Punkt des Schnittes ist, an dem
\mathl{X+Z}{} nicht verschwindet. Die Komponenten des Schnittes werden vielmehr durch
\mathdisp {{\mathfrak b}_1= {\mathfrak a} + (X-Z) \text{ und } {\mathfrak b}_2= {\mathfrak a} + (X+Z)} { }
beschrieben. Das sind beides Primideale, der Restklassenring ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y,Z]/({\mathfrak b}_1) }
{ =} { K[X,Y,Z]/({\mathfrak a} + (X-Z)) }
{ =} {K[X,Y]/ { \left( X^2+Y^2-1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Um die zweite Gleichung einzusehen, eliminiert man $Z$ mit der hinteren Gleichung, und die beiden Zylindergleichungen werden dann identisch. Ebenso ist die Argumentation für das andere Ideal. Geometrisch gesprochen heißt dies, dass ein Punkt des Durchschnittes
\mathl{S_1 \cap S_2}{} in der Ebene
\mathl{E_1=V(Z-X)}{} oder in der Ebene
\mathl{E_2=V(Z+X)}{} liegt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_1 \cap S_1 }
{ =} { E_1 \cap S_1 \cap S_2 }
{ =} { E_1 \cap S_2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und ebenso für $E_1$, da auf diesen Ebenen die beiden Zylindergleichungen identisch werden.

Wie sehen die Durchschnitte in den Ebenen aus? Wir betrachten die Ebene $E_1$ mit den Koordinaten $Y$ und
\mathl{U=Z+X}{.} Es ist dann
\mathl{X= \frac{1}{2} ((Z+X) - (Z-X))}{} und damit kann man die erste Zylindergleichung als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{1}{2} ((Z+X) - (Z-X)) \right) }^2+Y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben. Auf der Ebene $E_1$, die ja durch
\mathl{Z=X}{} festgelegt ist, wird aus dieser Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{1}{2} U \right) }^2+Y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} also
\mathl{\frac{1}{4}U^2+Y^2=1}{.} Dies ist die Gleichung einer \stichwort {Ellipse} {,} was auch anschaulich klar ist. Man beachte, dass in der obigen Berechnung des Restklassenringes
\mathl{K[X,Y,Z]/({\mathfrak b}_1)}{} aber eine Kreisgleichung auftritt. Dies sollte deshalb nicht überraschen, da Kreis und Ellipse durch eine lineare Variablentransformation ineinander überführbar sind und dass daher insbesondere die Restklassenringe isomorph sind. Als \stichwort {metrisches Gebilde} {} sind Kreis und Ellipse verschieden, und der Durchschnitt der beiden Zylinder besteht aus zwei Ellipsen. Bei einer \stichwort {orthonormalen Variablentransformation} {} bleibt die metrische Struktur erhalten. Die Variablen
\mathl{Y, { \left( X+Z \right) } , { \left( X-Z \right) }}{} definieren aber keine orthonormale Transformation.

Halten wir also fest: Der Durchschnitt der beiden Zylinder ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S_1 \cap S_2 }
{ =} { V({\mathfrak b}_1) \cup V({\mathfrak b}_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mathl{{\mathfrak b}_1 =(X^2+Y^2-1, X-Z )}{} und
\mathl{{\mathfrak b}_2 =(X^2+Y^2-1, X+Z )}{} zwei Ellipsen beschreiben.

Wie liegen diese beiden Ellipsen zueinander? Dazu berechnen wir ihren Durchschnitt, der durch die Summe von ${\mathfrak b}_1$ und ${\mathfrak b}_2$ beschrieben wird. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}_1 + {\mathfrak b}_2 }
{ =} { { \left( X^2+Y^2-1 , X-Z, X+Z \right) } }
{ =} { { \left( Y^2-1,X,Z \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Lösungsmenge davon besteht aus den beiden Punkten \mathkor {} {(0,1,0)} {und} {(0,-1,0)} {.}


}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cylinder_principal_directions.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cylinder principal directions.svg } {Luca Antonelli} {Luke Antony} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}






\zwischenueberschrift{Zur Anzahl der Punkte auf Kurven}

Wir haben bereits gesehen, dass der Schnitt einer Kurven mit einer Geraden nur aus endlich vielen Punkten besteht, es sei denn, die Gerade sei selbst eine Komponente der Kurve \zusatzklammer {siehe Lemma 1.6} {} {.} Dies wollen wir zunächst auf den Schnitt von zwei beliebigen ebenen Kurven verallgemeinern. Als Hilfsmittel benötigen wir die folgende Definition.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring in einer Variablen}{}{} über $K$. Dann nennt man den \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(K[X])}{} den \definitionswort {rationalen Funktionenkörper}{} über $K$ \zusatzklammer {oder \definitionswort {Körper der rationalen Funktionen}{} über $K$} {} {.} Er wird mit
\mathl{K(X)}{} bezeichnet.

}





\inputfaktbeweis
{Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G }
{ \in }{K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor.}
\faktfolgerung {Dann gibt es nur endlich viele Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i }
{ \in }{ V(F,G) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir betrachten
\mathl{F,G \in K[X,Y]}{} als Elemente in
\mathl{K(X)[Y]}{,} wobei
\mathl{K(X)}{} den \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} in $X$ bezeichne. Es haben dann nach Aufgabe 4.13 auch $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler in
\mathl{K(X)[Y]}{.} Da dieser Ring ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} ist, erzeugen sie zusammen das Einheitsideal, d.h. es gibt Polynome
\mathl{A,B \in K(X)[Y]}{} mit
\mathl{AF+BG=1}{.} Multiplikation mit dem Hauptnenner von $A$ und $B$ ergibt in
\mathl{K[X,Y]}{} die Gleichung
\mathl{\tilde{A} F + \tilde{B}G=H}{} mit
\mathl{H\in K[X]}{.} Eine gemeinsame Nullstelle in
\mathl{{\mathbb A}^2_K}{} von $F$ und von $G$ muss also eine Nullstelle von $H$ sein. Es gibt also nur endlich viele Werte für $X$, für die eine gemeinsame Nullstelle vorliegt. Wenn man die Rollen von $X$ und von $Y$ vertauscht, so sieht man, dass es auch nur endlich viele Werte für $Y$ gibt, an denen eine gemeinsame Nullstelle vorliegen kann. Damit kann es überhaupt nur endlich viele gemeinsame Nullstellen geben.

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Two_cubic_curves.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Two cubic curves.png } {} {Hack} {Commons} {PD} {}