Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, warum der Ring
\mathdisp {\Z[X,Y,Z,W]/(XY-ZW, 5X^8-YZ^3+2WXY)} { }
\definitionsverweis {noethersch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3 }
{ \subseteq} {\ldots }
{ } { }
} {}{}{} eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} $R \times S$ zu \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {} wieder noethersch ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass es in
\mathl{K[X,Y]}{} keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von \definitionsverweis {Idealen}{}{} \zusatzklammer {in einem minimalen \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}} {} {} gibt.

}
{} {Tipp: Betrachte die Potenzen
\mathl{(X,Y)^m}{.}}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {noetherschen Ringes}{}{} nicht noethersch sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{,} das zumindest ein \definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{} enthalte. Was bedeutet dies für die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Charakterisiere diejenigen \definitionsverweis {Ideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ \subseteq }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$ konstant ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Bestimme zu den \definitionsverweis {Idealen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b} }
{ =} { (X,Y)^m }
{ \subseteq} { R[Y] = K[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in $R$. Wann wird sie stationär?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zum \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { (6,6x^2+2x+3,3x^3+5,2x^5+x-4,4x^7-3x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Z[x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination des konstruierten Erzeugendensystems.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von \definitionsverweis {affin-algebraischen Mengen}{}{} in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} und von \definitionsverweis {Idealen}{}{} in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette
\mathdisp {V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots} { }
von affin-algebraischen Mengen stationär.

b) Für einen unendlichen Körper und
\mathl{n \geq 1}{} wird nicht jede aufsteigende Kette
\mathdisp {V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots} { }
von affin-algebraischen Mengen stationär.

c) Für \zusatzklammer {einen beliebigen Körper und} {} {}
\mathl{n \geq 1}{} wird nicht jede absteigende Idealkette
\mathdisp {{\mathfrak a}_0 \supseteq {\mathfrak a}_1 \supseteq {\mathfrak a}_2 \supseteq \ldots} { }
stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und
\mathl{n \geq 1}{} gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ mit der \definitionsverweis {metrischen Topologie}{}{} kein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ auf genau eine Weise die Struktur eines $\Z$-\definitionsverweis {Moduls}{}{} trägt. Kommutative Gruppen und $\Z$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $R$ und $A$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{.} Zeige, dass $A$ genau dann eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist, wenn $A$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} ist, für den zusätzlich
\mathdisp {r (ab) =(ra)b \text{ für alle } r \in R,\, a,b \in A} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Modul}{}{} über dem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Es seien $s_1 , \ldots , s_k \in R$ und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } }
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} \mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} ein \definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Für einen $R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch das \definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(S)}{} ein Untermodul von $N$. }{Insbesondere ist das Bild
\mathl{\operatorname{bild} \varphi= \varphi(M)}{} der Abbildung ein Untermodul von $N$. }{Für einen Untermodul
\mathl{T \subseteq N}{} ist das \definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} ein Untermodul von $M$. }{Insbesondere ist der \definitionsverweis {Kern}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untermodul von $M$. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { R/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.

}
{Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{A=K[X,Y]}{.} Finde eine $K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme zum Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I }
{ =} { (10,6x^2+8,4x^3-12) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Z[x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.

}
{} {}