Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra, die als ${}K$- Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element ${}f\in A$ genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe

Es seien ${}K$ und ${}L$ Körper, sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}A$, ${}K\subseteq A\subseteq L$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann ${}A$ ebenfalls ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Ringerweiterung und sei ${}f\in R$. Zeige: Wenn ${}f$, aufgefasst in ${}S$, eine Einheit ist, dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}R$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann ist ${}M$ genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette

$M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots$

von ${}R$- Untermoduln stationär wird.

Aufgabe

Es sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {\cdot f}{\longrightarrow }}\,R\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/f\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von ${}R$- Moduln führt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}I,J\subseteq R$ Ideale. Zeige, dass die Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\cap J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I\times R/J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/I+J\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

mit ${}r\mapsto (r,r)$ und ${}(s,t)\mapsto s-t$ exakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}N$ ein ${}R$- Modul mit ${}R$- Untermoduln ${}L\subseteq M\subseteq N$. Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N/M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

miteinander in Beziehung stehen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus zwischen den ${}R$- Moduln ${}M$ und ${}N$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {kern} \varphi \longrightarrow M\longrightarrow \operatorname {bild} \varphi \longrightarrow 0$

führt.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der ${}R$-Modul

${}{M}^{*}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\,$

heißt der duale Modul zu ${}M$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln ${}L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow {N}^{*}\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow {L}^{*}$

der dualen Moduln führt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}K$- Vektorräumen ${}L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{N}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{M}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{L}^{*}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

der Dualräume führt.

Aufgabe

Sei ${}a\neq 0$ eine ganze Zahl. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {\cdot a}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow 0$

von ${}\mathbb {Z}$- Moduln. Zeige, dass man die nach Aufgabe 10.9 exakte Sequenz

$0\longrightarrow {(\mathbb {Z} /(a))}^{*}\longrightarrow {\mathbb {Z} }^{*}\longrightarrow {\mathbb {Z} }^{*}$

bei ${}a\geq 2$ nicht nach rechts durch ${}\rightarrow 0$ exakt fortsetzen kann.

Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$-Modul ${}M$ heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette

$M_{1}\supseteq M_{2}\supseteq M_{3}\supseteq \ldots$

von ${}R$-Untermoduln stationär wird.

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt artinsch, wenn er als ${}R$-Modul artinsch ist.

Aufgabe

Es sei ${}A$ ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ${}A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$. Zeige durch ein Beispiel, dass ${}{\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt und ${}R/{\mathfrak {a}}$ noethersch sein kann, ohne dass ${}R$ noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln. Es gebe ein ${}R$- Modul-Erzeugendensystem von ${}L$ mit ${}k$ Elementen und ein ${}R$-Modul-Erzeugendensystem von ${}N$ mit ${}n$ Elementen. Zeige, dass es ein ${}R$-Modul-Erzeugendensystem von ${}M$ mit ${}k+n$ Elementen gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative endliche ${}R$- Algebra und ${}M$ ein endlicher ${}A$- Modul. Zeige, dass ${}M$ auch ein endlicher ${}R$-Modul ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ der Durchschnitt von Primidealen ist.

Eine Möglichkeit ergibt sich aus der vorstehenden Aufgabe, eine andere aus Aufgabe 13.5 weiter unten.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P\in K[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass ${}P$ nicht algebraisch über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Es sei ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ${}M\neq K$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass ${}M\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}A$ eine endlich erzeugte ${}\mathbb {Z}$- Algebra und es sei ${}{\mathfrak {m}}\subseteq A$ ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ${}A/{\mathfrak {m}}$ ein endlicher Körper ist.

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra. Man nennt Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ algebraisch abhängig, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit

${}P(f_{1},\ldots ,f_{n})=0\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Variablen ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ algebraisch unabhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ und seien ${}n+1$ Polynome ${}f_{1},\ldots ,f_{n+1}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gegeben. Zeige, dass diese algebraisch abhängig sind.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

eine polynomiale Abbildung zwischen affinen Räumen mit ${}m<n$. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra über einem Körper ${}K$ und seien ${}n$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann algebraisch unabhängig sind, wenn die von diesen Elementen erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f_{1},\ldots ,f_{n}]$ isomorph zum Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

$K[X,Y]/(F)$

eine endliche ${}K[T]$-Algebra ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ endlich über ${}R$ und ${}T$ endlich über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ endlich über ${}R$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ${}A$ ein kommutativer Ring und sei

$0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}A$-Moduln. Man zeige, dass ${}N$ genau dann artinsch ist, wenn ${}M$ und ${}P$ artinsch sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M_{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, seien ${}R$-Moduln mit fixierten ${}R$- Modulhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow M_{i+1}.$

Die Sequenz

$\ldots \longrightarrow M_{i}\longrightarrow M_{i+1}\longrightarrow M_{i+2}\longrightarrow M_{i+3}\longrightarrow \ldots$

heißt exakt, wenn für alle ${}i$ gilt, dass ${}\operatorname {Kern} \,(\varphi _{i})=\operatorname {Bild} \,(\varphi _{i-1})$ ist.

1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt.
2. Es sei nun ${}R=K$ ein Körper, die ${}M_{i}$ seien endlich erzeugt, ${}M_{0}=0$ und alle ${}M_{i}=0$ für ${}i\geq n$ für ein gewisses ${}n$. Zeige, dass

   ${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {dim} _{K}M_{i}=0\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endliche ${}K$-Algebra. Zeige: Dann ist ${}A$ artinsch.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige: Wenn ${}M$ artinsch und ${}\phi :M\to M$ ${}R$-linear und injektiv ist, so ist ${}\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das ${}M$ noethersch ist.