Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 10

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe *

Sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra, die als -Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.


Aufgabe

Seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Ringerweiterung und sei . Zeige: Wenn , aufgefasst in , eine Einheit ist, dann ist eine Einheit in .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann ist genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette

von -Untermoduln stationär wird.


Aufgabe

Es sei ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring . Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

von -Moduln führt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige, dass die Sequenz

mit und exakt ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein -Modul mit -Untermoduln . Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

miteinander in Beziehung stehen.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein -Modulhomomorphismus zwischen den -Moduln und . Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

führt.


Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der -Modul

heißt der duale Modul zu .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln . Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

der dualen Moduln führt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Vektorräumen . Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

der Dualräume führt.


Aufgabe

Sei eine ganze Zahl. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

von -Moduln. Zeige, dass man die nach Aufgabe 10.9 exakte Sequenz

bei nicht nach rechts durch exakt fortsetzen kann.


Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette

von -Untermoduln stationär wird.


Ein kommutativer Ring heißt artinsch, wenn er als -Modul artinsch ist.

Aufgabe

Es sei ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige durch ein Beispiel, dass endlich erzeugt und noethersch sein kann, ohne dass noethersch ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Es gebe ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen und ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen. Zeige, dass es ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen gibt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, eine kommutative endliche -Algebra und ein endlicher -Modul. Zeige, dass auch ein endlicher -Modul ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal mit gibt.


Aufgabe

Sei ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass der Durchschnitt von Primidealen ist.

Eine Möglichkeit ergibt sich aus der vorstehenden Aufgabe, eine andere aus Aufgabe 13.5 weiter unten.

Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass nicht algebraisch über ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Es sei , , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung ist.


Aufgabe *

Es sei eine endlich erzeugte -Algebra und es sei ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ein endlicher Körper ist.


Es sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra. Man nennt Elemente algebraisch abhängig, wenn es ein von verschiedenes Polynom mit

gibt.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Variablen algebraisch unabhängig sind.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper und seien Polynome gegeben. Zeige, dass diese algebraisch abhängig sind.


Aufgabe

Es sei

eine polynomiale Abbildung zwischen affinen Räumen mit . Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra über einem Körper und seien Elemente gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann algebraisch unabhängig sind, wenn die von diesen Elementen erzeugte -Algebra isomorph zum Polynomring ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

eine endliche -Algebra ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass endlich über und endlich über ist. Zeige, dass dann auch endlich über ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Man zeige, dass genau dann artinsch ist, wenn und artinsch sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und , , seien -Moduln mit fixierten -Modulhomomorphismen

Die Sequenz

heißt exakt, wenn für alle gilt, dass ist.

  1. Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der Definition 10.2 in der Vorlesung übereinstimmt.
  2. Sei nun ein Körper, die seien endlich erzeugt, und alle für für ein gewisses . Zeige, dass


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und eine endliche -Algebra. Zeige: Dann ist artinsch.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige: Wenn artinsch und -linear und injektiv ist, so ist ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das noethersch ist.



<< | Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)