Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 9

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Begründe, warum der Ring

noethersch ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt zu noetherschen Ringen und wieder noethersch ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass es in keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen (in einem minimalen Erzeugendensystem) gibt.

Tipp: Betrachte die Potenzen .

Aufgabe

Sei ein Körper und sei

der Polynomring über in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Unterring eines noetherschen Ringes nicht noethersch sein muss.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal, das zumindest ein normiertes Polynom enthalte. Was bedeutet dies für die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Charakterisiere diejenigen Ideale mit der Eigenschaft, dass die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in konstant ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Bestimme zu den Idealen

die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette in . Wann wird sie stationär?


Aufgabe

Bestimme zum Ideal

in die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von . Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination des konstruierten Erzeugendensystems.


Aufgabe

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in und von Idealen in . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette

von affin-algebraischen Mengen stationär.


b) Für einen unendlichen Körper und wird nicht jede aufsteigende Kette

von affin-algebraischen Mengen stationär.


c) Für (einen beliebigen Körper und) wird nicht jede absteigende Idealkette

stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.


Aufgabe

Zeige, dass die reellen Zahlen mit der metrischen Topologie kein noetherscher topologischer Raum ist.


Aufgabe

Sei eine kommutative Gruppe. Zeige, dass auf genau eine Weise die Struktur eines -Moduls trägt. Kommutative Gruppen und -Moduln sind also äquivalente Objekte.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe. Zeige, dass genau dann eine -Algebra ist, wenn ein -Modul ist, für den zusätzlich

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, und zwei -Moduln und sei

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Für einen -Untermodul ist auch das Bild ein Untermodul von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untermodul von .
  3. Für einen Untermodul ist das Urbild ein Untermodul von .
  4. Insbesondere ist der Kern ein Untermodul von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass keine Algebra von endlichem Typ über ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei . Finde eine -Unteralgebra von , die nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

in die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von . Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.



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