Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f)
}
{ = }{ {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass $f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak p}_i$ Hauptideale sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}
Zeige, dass es ein Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak b}}{} ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten in
\mathl{K[X,Y]}{} die beiden
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { (X)
}
{ \subset} { (X,Y)
}
{ =} { {\mathfrak m}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es kein Ideal ${\mathfrak a}$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { {\mathfrak a} \cdot {\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ R_1 \times \cdots \times R_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
aus
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
von $R$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times}
}
{ =} { R_1^{\times} \times \cdots \times R_n^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{f \in R}{.} Es sei $f$ sowohl \definitionsverweis {nilpotent}{}{}
als auch \definitionsverweis {idempotent}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{f=0}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei
\mathl{R \times S}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{R \times S}{.} Zeige, dass die Teilmenge
\mathl{R \times 0}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ ein kommutativer Ring und $I, J$ Ideale in $R$. Es sei weiter \maabbeledisp {\varphi} {R } { R/I \times R/J } {r} { (r + I, r +J) } {.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn $I + J = R$ gilt. Wie sieht $\ker \varphi$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle $R = \mathbb{Z}$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathl{I,J \subseteq R}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {R/I \cap J} { R/I \times R/J
} {r} { (r,r)
} {,}
und
\maabbeledisp {\psi} {R/I \times R/J } {R/I +J
} {(s,t)} {s-t
} {.}
Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, dass $\psi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ =} { \operatorname{kern} \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Sind
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_e
}
{ \cong} { R/(1-e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {disjunkten Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { U \uplus V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
\definitionsverweis {offenen Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U,V
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} {C(X, \R) } {C(U, \R) \times C(V, \R)
} {f} { ( f \vert_U, f \vert_V)
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R_1$ und $R_2$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} mit dem \definitionsverweis {Produktring
}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{R_1 \times R_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine natürliche
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( R_1 \right) } \uplus \operatorname{Spek} { \left( R_2 \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R_1 \times R_2 \right) }
} {.}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
\aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist.
}{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.
}{Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {idempotentes Element}{}{.}
Zeige, dass auch $1-e$ idempotent ist und dass die \anfuehrung{zusammengesetzte}{}
\definitionsverweis {Restklassenabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {R} {R/(e) \times R/(1-e)
} {}
eine Bijektion ist.
}
{} {}
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {zusammenhängend}{,} wenn er genau zwei \definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{} \zusatzklammer {nämlich \mathlk{0 \neq 1}{}} {} {} enthält.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{} \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.} Zeige, dass $R$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ein \definitionsverweis {zusammenhängender Ring}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(3) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 1 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 3 \text{ und } x = 2 \!\! \mod 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in
\mathl{\Q[X]/(X^2-1)}{} nichttriviale
\definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} und $p\in R$ ein \definitionsverweis {Primelement}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} \mathkor {} {0} {und} {1} {} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es seien $a_1, \ldots ,a_n \in K$ verschiedene Elemente und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { (X-a_1){ \cdots }(X-a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Produkt der zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Polynome}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$K[X]/(F)$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
$K^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Das Polynom
\mathl{X^3-7X^2+3X-21}{} besitzt in $\R[X]$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-7X^2+3X-21
}
{ =} { (X-7)(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R[X]/(X^3-7X^2+3X-21)
}
{ \cong} { \R[X]/ (X-7) \times \R[X]/(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(1,0)}{} entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(0,1)}{} entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder echte
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von ${\mathbb C}[X]$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
der Form
\mathdisp {{\mathbb C} \times \cdots \times {\mathbb C} \times {\mathbb C}[X]/(X^2) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^2) \times {\mathbb C}[X]/(X^3) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^3) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^m) \times \cdots \times {\mathbb C}[X]/(X^m)} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Realisiere den
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathdisp {\R \times \R \times \R \times \R \times {\mathbb C} \times {\mathbb C} \times {\mathbb C}} { }
als einen
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von
\mathl{\R[X]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die folgenden
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
\aufzaehlungdrei{Der
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{K \times K \times K}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{K[X]/(X^3-X)}{.}
}{Der Restklassenring
\mathl{K[X,Y]/(X,Y) \cdot (X-1,Y-1) \cdot (X,Y-7)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in
\mathl{\Z[\sqrt{7}]}{} die
\definitionsverweis {Primideale}{}{,}
die
\mathl{5-3\sqrt{7}}{} enthalten, sowie den
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu
\mathl{5-3\sqrt{7}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Zeige, dass $R/ {\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} $R$ von maximal zwei Elementen \definitionsverweis {erzeugt}{}{} wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} einen \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {N} { (\operatorname{Eff \, Div} { \left( R \right) },+) } { (\N_+, \cdot) } {} festlegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge aller
\definitionsverweis {Normen}{}{}
zu
\definitionsverweis {Idealen}{}{}
$\neq 0$ in $R$. Zeige, dass $T$ ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
ist, das von gewissen Primzahlpotenzen $p^i$ erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in einer endlichen integren Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
${\mathfrak p}$ derart geben kann, dass die Anzahl des
\definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak p}^r}{} zu einer Primidealpotenz
\mathl{{\mathfrak p}^r}{} keine Potenz ist.
}
{} {}