Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 12

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und sei , . Es sei die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale Hauptideale sind.


Aufgabe

Es sei ein Ideal in einem Dedekindbereich. Zeige, dass es ein Ideal derart gibt, dass ein Hauptideal ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Wir betrachten in die beiden Primideale

Zeige, dass es kein Ideal mit

gibt.


Aufgabe *

Es sei ein Produkt aus kommutativen Ringen. Zeige, dass für die Einheitengruppe von die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei . Es sei sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ist.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei der Produktring . Zeige, dass die Teilmenge ein Hauptideal ist.


Aufgabe

Seien ein kommutativer Ring und Ideale in . Sei weiter

Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn gilt. Wie sieht aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

und

Zeige, dass injektiv ist, dass surjektiv ist und dass

ist. Sind und Ringhomomorphismen?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

gibt.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung

aus offenen Teilmengen . Zeige, dass die natürliche Abbildung

bijektiv ist.


Aufgabe

Es seien und kommutative Ringe mit dem Produktring . Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

gibt.


Aufgabe *

Es seien kommutative Ringe und sei

der Produktring.

  1. Es seien

    Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

    ein Ideal in ist.

  2. Zeige, dass jedes Ideal die Form

    mit Idealen besitzt.

  3. Sei

    ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.

  4. Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass auch idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung

eine Bijektion ist.


Ein kommutativer Ring heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich ) enthält.


Aufgabe

Sei ein kommutativer lokaler Ring. Zeige, dass zusammenhängend ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.


Aufgabe *

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Aufgabe *

a) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.

b) Finde die Zahlen mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ist.


Aufgabe

Finde in nichttriviale idempotente Elemente.


Aufgabe

Sei ein faktorieller Bereich und ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien verschiedene Elemente und

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zum Produktring ist.


Aufgabe *

Das Polynom besitzt in die Zerlegung

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.


Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.


Aufgabe

Zeige, dass jeder echte Restklassenring von isomorph zu einem Produktring der Form

ist.


Aufgabe

Realisiere den Produktring

als einen Restklassenring von .


Aufgabe

Zeige, dass die folgenden -Algebren zueinander isomorph sind.

  1. Der Produktring .
  2. Der Restklassenring .
  3. Der Restklassenring .


Aufgabe *

Bestimme in die Primideale, die enthalten, sowie den Hauptdivisor zu .


Aufgabe *

Es sei ein Dedekindbereich und ein Ideal. Zeige, dass ein Hauptidealring ist.


Aufgabe

Zeige, dass jedes Ideal in einem Dedekindbereich von maximal zwei Elementen erzeugt wird.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich. Zeige, dass die Norm einen Monoidhomomorphismus

festlegt.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und sei die Menge aller Normen zu Idealen in . Zeige, dass ein multiplikatives System ist, das von gewissen Primzahlpotenzen erzeugt wird.


Aufgabe

Zeige, dass es in einer endlichen integren Erweiterung Primideale derart geben kann, dass die Anzahl des Restklassenringes zu einer Primidealpotenz keine Potenz ist.



<< | Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)