Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Quadratrestgruppe
\mathdisp {\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}} { , }
wobei
\mathl{\mathbb Q^{\times 2}}{} die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse
\mathl{x \in \mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times 2}}{} einen Repräsentanten aus $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Für einen Körper $K$ bezeichnet
\mathl{K^{\times 2} \subseteq K^\times}{} die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe
\mathdisp {K^\times/K^{\times 2}} { . }
\aufzaehlungvier{$K$ ist ein endlicher Körper.
}{
\mathl{K=\mathbb R}{.}
}{
\mathl{K=\mathbb C}{.}
}{
\mathl{K=\mathbb Q}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} auf $\Q[\sqrt{D}]$ ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} und auf $A_D$ ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} ist. Zeige, dass der \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} gleich $\Q$ bzw. gleich $\Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die $1$ Teil einer Ganzheitsbasis von $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Spur}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} für $\sqrt{D}$ bzw. für $\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\zusatzklammer {Isomorphietyp des} {} {}
\definitionsverweis {Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} { \Q[X]/ { \left( X^2+ \frac{3}{2}X - \frac{5}{7} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $D$ und $E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien $A_D$ und $A_E$ die zugehörigen
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_D \cap A_E
}
{ =} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme ein Element aus
\mathl{\Z [\sqrt{-11}]}{,} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{A_D/ \Z[\sqrt{D}]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
mit
\mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{\frac{1 + \sqrt{D} }{2}}{} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}]
}
{ \subset }{R
}
{ \subset }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{D}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
an $2$ ein
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { R_2 } { (A_D)_2
} {}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{} $A_D$ mit negativem $D$ sämtliche \definitionsverweis {Einheiten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Für welche
\definitionsverweis {quadratfreien Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {1 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde ein quadratfreies $D$ derart, dass die natürliche Inklusion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[\sqrt{D}]
}
{ \subseteq} { A_D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale $\mathfrak q$ und $\mathfrak q'$ in $A_D$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \subset \Z[\sqrt{D}]}{} liegen. Was ist
\mathl{{\mathfrak p} \cap \Z}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es für eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ die folgenden drei Möglichkeiten:
\aufzaehlungdrei{$p$ ist prim in $A_D$.
}{Es gibt ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ in $A_D$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p)
}
{ = }{ {\mathfrak p}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es gibt ein Primideal ${\mathfrak p}$ in $A_D$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p)
}
{ = }{ {\mathfrak p} \overline{ {\mathfrak p} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ \overline{ {\mathfrak p} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass für eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$, die kein Teiler von $D$ ist, folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {$D$ ist ein Quadrat in $\Z/(p)$.
} {Es gibt zwei
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $A_D$ oberhalb von $(p)$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der \definitionsverweis {Faserring}{}{} über $\Z/(p)$ nicht \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} zu jeder Primzahl $p$ einen $\Z/(p)$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{} des Faserringes über $p$ in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von [[Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt|Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Faktreferenznummer ]] bzw. [[Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt|Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Faktreferenznummer ]].
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D \neq 0,1$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und betrachte die quadratische Erweiterung
\mathl{\Z \subset \Z[\sqrt{D}]}{.} Es sei $p$ ein Primfaktor von $D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder $p$ noch $-p$ ein Quadratrest modulo $D/p$ ist. Dann ist $p$ irreduzibel in
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{,} aber nicht prim.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{7}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{29
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen und zeige, dass es sich um
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{15}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R$, die über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{17
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen
\zusatzklammer {man gebe Idealerzeuger an} {} {.}
Handelt es sich um Hauptideale?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $2$ im Ring
\mathl{{\mathbb Z}[\sqrt{5}]}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht
\definitionsverweis {prim}{}{} ist. Wie sieht es in $A_5$ aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ ein ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{$p$ ist die Summe von zwei Quadraten,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{x^2+y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$p$ ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines Elementes aus
\mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.}
}{$p$ ist zerlegbar
\zusatzklammer {nicht prim} {} {}
in
\mathl{\Z [ { \mathrm i} ]}{.}
}{$-1$ ist ein Quadrat in
\mathl{\Z/(p)}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{r^2 m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme. Zeige, dass dann $n$ genau dann die Summe von zwei Quadraten ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{0,1 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\Z[\omega]$ der Ring der
\definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{}
und $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{Es gibt eine Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{x^2+xy+y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$p$ ist die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
eines Elementes aus
\mathl{\Z [ \omega ]}{.}
}{$p$ ist zerlegbar
\zusatzklammer {nicht prim} {} {}
in
\mathl{\Z [ \omega ]}{.}
}{$-3$ ist ein Quadrat in
\mathl{\Z/(p)}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{0,1 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
positive Zahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zur
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ \Q[ { \mathrm i} , \sqrt{D} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
echt größer als
\mathl{\Z[ { \mathrm i} , \sqrt{D} ]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{,}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass dann auch jeder
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} noethersch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige: Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ ist genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn es in $R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_3
}
{ \subset} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Produkt}{}{} $R \times S$ zu \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {} wieder noethersch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass es in
\mathl{K[X,Y]}{} keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von
\definitionsverweis {Idealen}{}{}
\zusatzklammer {in einem minimalen
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}} {} {}
gibt.
}
{} {Tipp: Betrachte die Potenzen
\mathl{(X,Y)^m}{.}}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen $R_{f_i}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
sind. Zeige, dass dann auch $R$ noethersch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {noetherschen Ringes}{}{}
nicht noethersch sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller}{}{} \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige Erweiterung. Zu einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {q_1^{r_1} \cdots q_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Primfaktorzerlegung von $p$ in $R$
\zusatzklammer {die $q_i$ seien also paarweise nicht
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}} {} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
${\mathfrak p}$ von $R$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap \Z
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau die Primideale der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ (q_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und seien $\mathfrak p$ und $\mathfrak q$ verschiedene \definitionsverweis {Primideale}{}{} $\neq 0$. Dann gibt es einen \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {R/\mathfrak p \cap \mathfrak q } { R/{\mathfrak p} \times R/{\mathfrak q} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und seien $\mathfrak p$ und $\mathfrak q$ zwei verschiedene
\definitionsverweis {Primideale}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak p \cap \mathfrak q
}
{ =} { {\mathfrak p} \cdot {\mathfrak q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{,} wo jeder Restklassenring $\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.
}
{} {}