Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 9

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Aufgaben

Aufgabe *

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Aufgabe

Für einen Körper bezeichnet die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

  1. ist ein endlicher Körper.
  2. .
  3. .
  4. .


Aufgabe

Zeige, dass die Konjugation auf ein Körperautomorphismus und auf ein Ringautomorphismus ist. Zeige, dass der Invariantenring gleich bzw. gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Teil einer Ganzheitsbasis von ist.


Aufgabe

Bestimme die Konjugation für bzw. für in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.


Aufgabe

Bestimme die Spur für bzw. für in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.


Aufgabe

Bestimme die Norm für bzw. für in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.


Aufgabe *

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs . Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

auf und berechne damit die Spur und die Norm von .


Aufgabe

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung


Aufgabe

Seien und zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien und die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige


Aufgabe *

Bestimme ein Element aus , das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei quadratfrei. Bestimme die Restklassengruppe .


Aufgabe

Sei eine quadratfreie Zahl mit , und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für über an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe gibt.


Aufgabe

Es sei eine quadratfreie Zahl, sei und sei der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme an ein Ringisomorphismus

vorliegt.


Aufgabe

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche mit negativem sämtliche Einheiten.


Aufgabe *

Für welche quadratfreien Zahlen mit

ist eine Einheit?


Aufgabe

Finde ein quadratfreies derart, dass die natürliche Inklusion

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale und in gibt, die beide über dem gleichen Primideal liegen. Was ist ?


Aufgabe *

Es sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass es für eine Primzahl die folgenden drei Möglichkeiten:

  1. ist prim in .
  2. Es gibt ein Primideal in derart, dass ist.
  3. Es gibt ein Primideal in derart, dass mit ist.


Aufgabe

Es sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass für eine ungerade Primzahl , die kein Teiler von ist, folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein Quadrat in .
  2. Es gibt zwei Primideale in oberhalb von .


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der Faserring über nicht reduziert ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation zu jeder Primzahl einen -Algebraisomorphismus des Faserringes über in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von Aufgabe 5.29 bzw. Aufgabe 9.16.


Aufgabe

Sei eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung . Es sei ein Primfaktor von und es sei vorausgesetzt, dass weder noch ein Quadratrest modulo ist. Dann ist irreduzibel in , aber nicht prim.


Aufgabe

Es sei . Bestimme die Primideale in , die über liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.


Aufgabe

Es sei . Bestimme die Primideale in , die über liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?


Aufgabe

Zeige, dass im Ring irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in aus?


Aufgabe *

Es sei ein ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist die Summe von zwei Quadraten, mit .
  2. ist die Norm eines Elementes aus .
  3. ist zerlegbar (nicht prim) in .
  4. ist ein Quadrat in .
  5. Es ist .


Aufgabe *

Es sei eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben , wobei jeder Primfaktor von nur einfach vorkomme. Zeige, dass dann genau dann die Summe von zwei Quadraten ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von nur und Primzahlen vorkommen, die modulo den Rest haben.


Aufgabe *

Zeige, dass genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ist, wenn ist.


Aufgabe

Es sei der Ring der Eisenstein-Zahlen und eine ungerade Primzahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt eine Darstellung mit .
  2. ist die Norm eines Elementes aus .
  3. ist zerlegbar (nicht prim) in .
  4. ist ein Quadrat in .
  5. Es ist .


Aufgabe

Es sei eine quadratfreie positive Zahl mit . Zeige, dass der Zahlbereich zur Körpererweiterung echt größer als ist.


Aufgabe *

Sei ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring noethersch ist.


Aufgabe

Zeige: Ein kommutativer Ring ist noethersch genau dann, wenn es in keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

gibt.


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt zu noetherschen Ringen und wieder noethersch ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass es in keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen (in einem minimalen Erzeugendensystem) gibt.

Tipp: Betrachte die Potenzen .

Aufgabe

Sei ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und seien Elemente, die das Einheitsideal erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen für noethersch sind. Zeige, dass dann auch noethersch ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei

der Polynomring über in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Unterring eines noetherschen Ringes nicht noethersch sein muss.


Aufgabe

Es sei ein faktorieller Zahlbereich und die zugehörige Erweiterung. Zu einer Primzahl sei

die Primfaktorzerlegung von in (die seien also paarweise nicht assoziiert). Zeige, dass die Primideale von mit der Eigenschaft genau die Primideale der Form sind.


Aufgabe

Sei ein Dedekindbereich und seien und verschiedene Primideale . Dann gibt es einen Ringisomorphismus


Aufgabe

Sei ein Dedekindbereich und seien und zwei verschiedene Primideale. Dann ist


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.



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