Kurs:Analysis/Teil I/28/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	4	3	4	6	4	4	10	5	5	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine rationale Zahl.
2. Eine beschränkte Teilmenge ${}M\subseteq K$ eines angeordneten Körper ${}K$.
3. Die Gaußklammer ${}\lfloor x\rfloor$ zu einem Element ${}x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$.
4. Die Kosinusreihe.
5. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
6. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
2. Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   (welche Voraussetzungen muss die Funktion ${}f$ und das Intervall ${}I$ erfüllen)?
3. Der Satz über partielle Integration.

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen ${}a,n,k$ die Beziehung

${}a^{(n^{k})}=\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl ${}e$ seien die Abschätzungen

${}2,71\leq e\leq 2,72\,$

bekannt.

1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{2}$ sagen?
2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ sagen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

$P=X^{3}-2{\mathrm {i} }X^{2}+4X-1\,\,{\text{ und }}\,\,Q={\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }$

gegeben. Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine reelle Lösung für die Gleichung

${}3^{x}-{\sqrt {3}}^{x+4}+20=0\,$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

$f\colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x^{3}-x}}.$

Aufgabe * (10 (1+2+3+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)=e^{x}-x^{e}\,.$

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von ${}f$.
2. Bestimme die Taylor-Entwicklung von ${}f$ im Punkt ${}e$ vom Grad ${}\leq 2$.
3. Bestimme die Nullstellen von ${}f$.
4. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel, also den Graphen zur Funktion

${}f(x)=x^{2}\,.$

1. Für welche reelle Zahl ${}c\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die ${}x$-Achse, die Parabel und die durch ${}x=c$ bestimmte vertikale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}17$? Skizziere die Situation.
2. Für welche reelle Zahl ${}d\geq 0$ ist der Flächeninhalt der durch die Parabel und die durch ${}y=d$ bestimmte horizontale Gerade eingeschränkte Fläche gleich ${}13$? Skizziere die Situation.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.