Kurs:Analysis/Teil I/4/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {bijektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {M} {N } {.}
}{Eine \stichwort {Teilfolge} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Das
\stichwort {Maximum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Die
\stichwort {Potenzreihe} {}
in $z \in {\mathbb C}$ zu den Koeffizienten
\mathbed {c_n \in {\mathbb C}} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
}{Eine
\stichwort {obere Treppenfunktion} {}
zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {homogene lineare eindimensionale} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
}{Zu jeder
\definitionsverweis {streng wachsenden}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbele {} {\N} {\N
} {i} {n_i
} {,}
heißt die Folge
\mathdisp {i \mapsto x_{n_i}} { }
eine Teilfolge der Folge.
}{Man sagt, dass $f$ in
\mathl{x \in M}{} das Maximum annimmt, wenn
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text{ für alle } x' \in M \text{ gilt}} { . }
}{Die Potenzreihe in $z$ ist die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { . }
}{Eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
heißt eine obere Treppenfunktion zu $f$, wenn
\mathl{t(x) \geq f(x)}{} für alle
\mathl{x \in I}{} ist.
}{Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mathdisp {y'=g(t)y} { }
mit einer
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\zusatzklammer {$I$ reelles Intervall} {} {}
\maabbeledisp {g} {I} {\R
} {t} {g(t)
} {,}
heißt homogene lineare Differentialgleichung.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}{Der Satz über
\stichwort {partielle Integration} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für
\mathl{x \geq -1}{} und
\mathl{n \in \N}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1+x)^n
}
{ \geq} { 1+nx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es seien
\mathl{P,T \in K[X]}{} zwei Polynome mit
\mathl{T \neq 0}{.} Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mathl{Q,R \in K[X]}{} mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R = 0} { . }
}{Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(t)g'(t) \, d t = fg | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Die Biologin Sandra O'Neil ist eine renommierte Forscherin über Bakterien. Ihr Institut hat ein hochauflösendes Mikroskop erworben, das auf dem Bildschirm die Wirklichkeit im Verhältnis
\mathl{3:10^{7}}{} wiedergibt. Auf dem Bildschirm ist die Geißel des Bakteriums
\mathl{21}{} cm lang und dreimal so lang wie das Bakterium selbst. Auf dem Bakterium befindet sich ein roter Punkt, dessen Flächeninhalt auf dem Bildschirm $2$ Quadratzentimeter einnimmt.
\aufzaehlungzwei {Wie lang ist das Bakterium in Wirklichkeit?
} {Welchen Flächeninhalt hat der rote Punkt in Wirklichkeit?
}
}
{
Der Faktor von der wirklichen Länge zur Bildschirmlänge ist $10^{7}/3$, der umgekehrte Faktor ist $3 \cdot 10^{-7}$.
\aufzaehlungzwei {Die Länge des Bakteriums auf dem Bildschirm ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot 21 cm
}
{ =} { 7 cm
}
{ =} { 7 \cdot 10^{-2} m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb ist die wirkliche Länge des Bakteriums gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 7 \cdot 10^{-2} \cdot 3 \cdot 10^{-7}
}
{ = }{ 21 \cdot 10^{-9}
}
{ = }{ 2,1 \cdot 10^{-8}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Meter, also $21$ Nanometer.
} {Der Flächeninhalt im Mikroskop ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 cm^2
}
{ =} { 2 \cdot 10^{-4} m^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um den wahren Flächeninhalt zu bestimmen, muss man den umgekehrten Faktor quadrieren. Der wahre Flächeninhalt des roten Punktes ist somit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 10^{-4} \cdot { \left( 3 \cdot 10^{-7} \right) }^2
}
{ =} { 18 \cdot 10^{-18}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Quadratmeter.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{
Die Formel für
\mathl{x_{n+1}}{} lautet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x_n + { \frac{ 7 }{ x_n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 3 + { \frac{ 7 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 9+7 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} {{ \frac{ 16 }{ 6 } }
}
{ =} {{ \frac{ 8 }{ 3 } }
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 7 }{ 8/3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 21 }{ 8 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 64+63 }{ 24 } }
}
{ =} { { \frac{ 127 }{ 48 } }
}
}
{}{}{.}
Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 7 }{ 127/48 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 336 }{ 127 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 16129+16128 }{ 6096 } }
}
{ =} { { \frac{ 32257 }{ 12192 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.
}
{
Es sei zunächst die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergent mit Grenzwert $x$. Dann ist die Folge nach
Lemma 5.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
beschränkt. Der Grenzwert $x$ ist insbesondere ein Häufungspunkt. Nehmen wir an, es würde noch einen weiteren Häufungspunkt $y \neq x$ geben. Für
\mathl{\epsilon = { \frac{ \betrag { x-y } }{ 3 } }}{} liegen dann aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder innerhalb der $\epsilon$-Umgebung
\zusatzklammer {also \mathlk{]x- \epsilon,x+\epsilon[}{}} {} {}
von $x$, und daher kann es innerhalb der $\epsilon$-Umgebung von $y$ nur endlich viele Glieder geben.
Es sei nun die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} beschränkt mit dem einzigen Häufungspunkt $x$. Wir behaupten, dass die Folge gegen $x$ konvergiert und nehmen an, dass sie nicht gegen $x$ konvergiert. Dann gibt es ein
\mathl{\epsilon >0}{} derart, dass es außerhalb der $\epsilon$-Umgebung von $x$ unendlich viele Folgenglieder gibt. Dies bedeutet, dass es eine Teilfolge
\mathl{x_{n_i}}{} gibt, die ganz außerhalb von \mathlk{]x- \epsilon,x+\epsilon[}{} verläuft. Mit der Folge ist auch diese Teilfolge beschränkt. Daher gibt es
nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß
\zusatzklammer {eine konvergente Teilfolge und} {} {}
einen Häufungspunkt $y$ der Folge
\mathl{x_{n_i}}{,} der auch ein Häufungspunkt von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist. Dabei ist
\mathl{x \neq y}{,} da es in der $\epsilon$-Umgebung von $x$ überhaupt keine Folgenglieder der Teilfolge
\mathl{x_{n_i}}{} gibt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_k$
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_k
}
{ =} { \frac{a_k}{a_{k-1} } \cdot \frac{a_{k-1} }{a_{k-2} } { \cdots } \frac{a_1}{a_{0} } \cdot a_0
}
{ \leq} { a_0 \cdot q^k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
\definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Es seien die beiden Polynome
\mathdisp {P=X^2+3X-5 \text{ und } Q= X^2-4X+7} { }
gegeben.
a) Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
b) Berechne die Ableitung von
\mathl{P(Q)}{} direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(Q)
}
{ =} {(X^2-4X+7)^2+3(X^2-4X+7) -5
}
{ =} {X^4 +16X^2+49 -8X^3+14X^2-56X +3X^2-12X+21 -5
}
{ =} { X^4-8X^3+33X^2-68X+65
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
b) Die Ableitung von
\mathl{P(Q)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^4-8X^3+33X^2-68X+65)^\prime
}
{ =} {4X^3 -24X^2 +66X-68
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mathl{P'=2X+3}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'(Q)
}
{ =} { 2(X^2-4X+7) +3
}
{ =} {2X^2-8X+17
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach der Kettenregel ist daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(P(Q))^\prime
}
{ =} {P'(Q) \cdot Q'
}
{ =} { ( 2X^2-8X+17 ) (2X-4)
}
{ =} { 4X^3-8X^2 -16X^2+32X+34X-68
}
{ =} { 4X^3-24X^2+66X-68
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ >} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ >} {g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.
}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ \defeq} { f(a) -g(a)
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
stetig sind, gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ \defeq} { { \frac{ c }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
positive Zahlen
\mathkor {} {\delta_1} {bzw.} {\delta_2} {}
derart, dass aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_1}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { f(x)-f(a) } \leq \epsilon}{} und aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_2}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { g(x)-g(a) } \leq \epsilon}{} folgt. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta
}
{ \defeq} { {\min { \left( \delta_1, \delta_2 , \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt somit für jedes
\mathl{x \in [a- \delta, a+ \delta]}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \geq} { f(a) - \epsilon
}
{ >} { g(a) + \epsilon
}
{ \geq} { g(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{
Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x^4 -2 x^3
}
{ =} { - \sqrt{42}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{x<0}{} und
\mathl{x >2}{} ist
\mathl{f(x)=x^3 (x-2) >0}{,} es kann also allenfalls in
\mathl{[0,2]}{} eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion $f$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { 4x^3 -6 x^2
}
{ =} {2x^2 (2x-3)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
An den beiden Nullstellen
\mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ 3 }{ 2 } }} {}
sind die Werte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {{ \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } -2 \right) }
}
{ =} {{ \frac{ 27 }{ 8 } } { \left( - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} {- { \frac{ 27 }{ 16 } }
}
{ >} {-2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ >} { - \sqrt{42}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Also ist das Minimum von $f$ größer als
\mathl{- \sqrt{42}}{} und es gibt keine Lösung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}
}
{
Wenn $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, so setzen wir
\mathl{s:=f'(a)}{.} Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
\mathdisp {r(x) =\begin{cases} \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \text{ für } x \neq a\, , \\ 0 \text{ für } x=a \, , \end{cases}} { }
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in {\mathbb K} \setminus \{a\} } r(x)
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in {\mathbb K} \setminus \{a\} } { \left( \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }-s \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist.
Wenn umgekehrt
\mathkor {} {s} {und} {r} {}
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
\mathl{x \neq a}{} die Beziehung
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } = s + r(x)} { . }
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (3+3+1)}
{
Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Es ist
\mathl{\sin \left( z+ { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) = \cos z}{} nach
[[Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (3)]].
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)
}
{ =} {\sin \left( - { \frac{ \pi }{ 4 } } + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right)
}
{ =} {\cos \left( - { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)
}
{ =} {\cos \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da Kosinus eine gerade Funktion ist. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { \sin^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) } + \cos^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { 2 \sin^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin^{ 2 } { \left( { \frac{ \pi }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{\sin { \frac{ \pi }{ 4 } } >0}{} ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 } }}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sin \left( 3 \alpha \right)
}
{ =} { \cos \alpha \sin \left( 2 \alpha \right) + \cos \left( 2 \alpha \right) \sin \alpha
}
{ =} { \cos \alpha { \left( 2 \cos \alpha \sin \alpha \right) } + { \left( \cos^{ 2 } \alpha - \sin^{ 2 } \alpha \right) } \sin \alpha
}
{ =} { \sin \alpha { \left( 3 \cos^{ 2 } \alpha - \sin^{ 2 } \alpha \right) }
}
{ =} { \sin \alpha { \left( 4 \cos^{ 2 } \alpha - 1 \right) }
}
}
{}
{}{.}
Für
\mathl{\alpha = { \frac{ \pi }{ 3 } }}{} ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { \sin \pi
}
{ =} {\sin { \frac{ \pi }{ 3 } } { \left( 4 \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } - 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { 4 \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } - 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Da
\mathl{\cos { \frac{ \pi }{ 3 } }}{} positiv ist, folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { \cos^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } } + \sin^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } }+ \sin^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin^{ 2 } { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus sich wegen der Positivität von
\mathl{\sin { \frac{ \pi }{ 3 } }}{} schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion
\mathdisp {f(x)= 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }^x} { }
die Extrema.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f(x)
}
{ =} { 2^x + 3^{-x}
}
{ =} { e^{x \ln 2 } +e^{ - x \ln 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { ( \ln 2 ) e^{x \ln 2 } - ( \ln 3) e^{ - x \ln 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
führt durch Multiplikation mit
\mathl{e^{x \ln 3 }}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { ( \ln 2) e^{ x ( \ln 2 + \ln 3 ) } - \ln 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{ x \ln 6 }
}
{ =} { { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \ln 6
}
{ =} { \ln { \left( { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ \ln { \left( { \frac{ \ln 3 }{ \ln 2 } } \right) } }{ \ln 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Die zweite Ableitung ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { ( \ln 2 )^2 e^{x \ln 2 } + ( \ln 3)^2 e^{ - x \ln 3 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und somit positiv, also liegt im angegebenen Punkt ein isoliertes lokales Minimum vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne das bestimmte Integral
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1} } } dx} { . }
}
{
Wir arbeiten mit der bijektiven Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {\sqrt[3]{5x+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Umkehrfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ y^3-1 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{dx
}
{ =} { { \frac{ 3y^2 }{ 5 } } dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1 } }} dx
}
{ =} {\int_1^{ \sqrt[3]{6} } { \frac{ { \frac{ y^3-1 }{ 5 } } }{ y } } \cdot { \frac{ 3y^2 }{ 5 } } dy
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } \int_1^{ \sqrt[3]{6} } y^4 - y dy
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } [ { \frac{ 1 }{ 5 } } y^5 - { \frac{ 1 }{ 2 } } y^2 ]_1^{ \sqrt[3]{6} }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 25 } } { \left( { \frac{ 1 }{ 5 } } { \sqrt[3]{6} }^5 - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \sqrt[3]{6} }^2 - { \frac{ 1 }{ 5 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 125 } } 6^{ { \frac{ 5 }{ 3 } } } - { \frac{ 3 }{ 50 } } 6^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }+ { \frac{ 9 }{ 250 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{
Beweise, dass eine stetige Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} { \R } {} \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.
}
{
Die stetige Funktion $f$ ist auf dem kompakten Intervall
\mathl{[a,b]}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
nach
Korollar 13.11 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Daher gibt es
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{}
und daher existieren
\definitionsverweis {Oberintegral}{}{}
und
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen
\mathl{\epsilon>0}{} eine untere und eine obere Treppenfunktion für $f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale $\leq \epsilon$ ist. Nach
Lemma 14.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist $f$
\definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.}
Daher gibt es zu
\mathl{\epsilon'=\frac{ \epsilon}{b-a}}{} ein
\mathl{\delta >0}{} derart, dass für alle
\mathbed {x,x' \in I} {mit}
{d { \left( x, x' \right) } \leq \delta} {}
{} {} {} {}
die Abschätzung
\mathl{d { \left( f(x), f(x') \right) } \leq \epsilon'}{} gilt. Es sei nun
\mathl{n \in \N}{} so, dass
\mathl{\frac{b-a}{n} \leq \delta}{} ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten
\mathl{a_i=a+ i\frac{b-a}{n}}{.} Auf den Teilintervallen
\mathbed {[a_{i-1},a_{i}]} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
ist der Abstand zwischen dem
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
\mathdisp {t_i = {\max { \left( f(x) , a_{i-1} \leq x \leq a_{i} \right) } }} { }
und dem
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
\mathdisp {s_i = {\min { \left( f(x) , a_{i-1} \leq x \leq a_{i} \right) } }} { }
kleiner/gleich $\epsilon'$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also
\mathdisp {t(x):= \begin{cases} t_i \text{ für } x \in [a_{i-1}, a_{i}[ \text{ und } 1 \leq i \leq n-1 \, , \\ t_n \text{ für } x \in [a_{n-1},a_n] \, , \end{cases}} { }
und
\mathdisp {s(x):= \begin{cases} s_i \text{ für } x \in [a_{i-1}, a_{i}[ \text{ und } 1 \leq i \leq n-1 \, , \\ s_n \text{ für } x \in [a_{n-1},a_n] \, ,\end{cases}} { }
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu $f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{i = 1}^n t_i \frac{b-a}{n} - \sum_{i = 1}^n s_i \frac{b-a}{n}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n ( t_i - s_i ) \frac{b-a}{n}
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \epsilon' \frac{b-a}{n}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \frac{\epsilon}{n}
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ \defeq} { { \frac{ 5 }{ 2e^{-5t} +3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die logistische Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y( 5-3y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{
Es ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} { { \frac{ -5 \cdot 2 \cdot (-5) \cdot e^{-5t} }{ (2e^{-5t} +3)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 50 e^{-5t} }{ (2e^{-5t} +3)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits ebenso
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y(t) ( 5-3y(t) )
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2e^{-5t} +3 } } { \left( 5-3 { \frac{ 5 }{ 2e^{-5t} +3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 25 }{ 2e^{-5t} +3 } } - { \frac{ 75 }{ (2e^{-5t} +3)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 25 (2e^{-5t} +3) -75 }{ (2e^{-5t} +3)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 50 e^{-5t} }{ (2e^{-5t} +3)^2 } }
}
}
{}
{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(0)
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2e^{0} +3 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 2+3 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}