Kurs:Analysis/Teil I/58/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	6	2	2	4	3	10	7	2	4	4	5	2	7	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Minimum einer Teilmenge ${}M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
2. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Die komplexe Konjugation.
4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
5. Die Sinusreihe.
6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in einem Punkt

   ${}a\in {\mathbb {K} }$.
2. Der Satz über die eulersche Zahl und die Exponentialreihe.
3. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}d$
${}b$	${}d$	${}a$	${}a$	${}a$
${}c$	${}d$	${}b$	${}b$	${}a$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}c$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $a\star (b\star (c\star d)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, wir betrachten die Betragsabbildung

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

1. Ist diese Abbildung injektiv?
2. Ist diese Abbildung surjektiv?
3. Wir nennen die Betragsabbildung kurz ${}\varphi$. Was kann man über die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{2},\varphi ^{3},\varphi ^{4},\ldots$ in Bezug auf ${}\varphi$ sagen?
4. Wir schränken die Betragsabbildung auf ${}K_{\leq 0}$ ein. Bestimme die Monotonieeigenschaft von

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ und es seien ${}x,y\in [a,b]$. Zeige

${}\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge ${}M$ der reellen Zahlen ein Supremum besitzt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-7x+5.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige anhand der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{{\mathrm {i} }z},$

dass der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für komplexwertige Funktionen nicht gelten muss. Man gebe also zwei Punkte ${}a,b\in {\mathbb {C} }$ an derart, dass die Gesamtsteigung ${}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ nicht als Ableitung eines Punktes auf der Verbindungsstrecke von ${}a$ nach ${}b$ auftritt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion ${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}$ für ${}x\rightarrow 0$ (${}x>0$).

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die nicht Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe * (7 (2+2+2+1) Punkte)

Eine Person verbreitet auf dem Campus das Gerücht, Professor Knopfloch hätte gestern zwei verschiedene Schuhe angehabt, nämlich eine Sandale und einen Gummistiefel. Das Gerücht verbreitet sich auf dem Campus derart, dass jede Person, die es hört, das Gerücht an jedem folgenden Tag einer weiteren Person erzählt, die es dann auch glaubt. Am Tag ${}1$ glaubt das Gerücht also eine Person, am Tag ${}2$ zwei Personen, am Tag ${}3$ vier Personen u.s.w.

1. Erstelle eine Differentialgleichung, die die Verbreitung des Gerüchtes auf dem Campus beschreibt (Zeit in Tage), wenn das Gerücht stets einer neuen Person erzählt wird, die es noch nicht kennt. Wie lautet die Lösung dieser Differentialgleichung?
2. Nach wie vor erzählt jede Person, die von dem Gerücht gehört hat, das Gerücht pro Tag einer Person auf dem Campus. Wir berücksichtigen nun aber den Umstand, dass die Zielperson das Gerücht eventuell schon kennt, was zu Beginn der Gerüchtausbreitung zwar unerheblich ist, aber mit den Tagen zunehmend an Bedeutung gewinnt. Auf dem Campus bewegen sich ${}10000$ Personen. Ob das Gerücht einer Person erzählt wird, die das Gerücht schon kennt, hängt einfach von der Rate ab, wie viele das Gerücht schon kennen. Erstelle eine Differentialgleichung, die die Verbreitung des Gerüchtes in diesem Modell beschreibt.
3. Zeige, dass es in der Situation aus Teil (2) eine Lösung der Form

   ${}z(t)={\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\,$

   gibt.

4. Wie ist in Teil (3) ${}c$ zu wählen?