Kurs:Analysis/Teil I/61/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	1	6	3	0	0	1	0	3	0	2	5	34

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

1. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}a$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}a$	${}c$	${}d$

2. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

3. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}b$	${}a$

4. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}2$	${}1$	${}4$	${}3$	${}6$	${}5$	${}8$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}h$	${}b$	${}f$	${}d$	${}e$	${}c$	${}g$	${}a$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {4}}+{\sqrt {6}}.$

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion ${}f$. Skizziere die Funktion ${}\vert {f}\vert$.

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Bernoullische Ungleichung

${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,$

gilt für reelle Zahlen

${}x\geq -1\,$

und natürliche Exponenten ${}n\in \mathbb {N}$.

1. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=2$ für alle ${}x$ gilt.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=3$ nicht für alle ${}x$ gilt.
3. Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=4$ für alle ${}x$ gilt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir nennen eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ streng konvergent gegen ${}x$, wenn sie gegen ${}x$ konvergiert und zusätzlich die Abstandsfolge ${}\vert {x_{n}-x}\vert$ fallend ist. Ist die Summe von zwei streng konvergenten Folgen wieder streng konvergent?

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom ${}f\in \mathbb {R} [X]$ mit ${}f(0)=0$, ${}f(1)=1$, ${}f(-1)=1$ und ${}f(3)=9$.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für nullstellenfreie differenzierbare Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}{\left({\frac {f}{g}}\right)}'=-\left({\frac {f}{g}}\right)^{2}{\left({\frac {g}{f}}\right)}'\,$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 1 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?