Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex

\setcounter{section}{21}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {D} {{\mathbb C} } {z} { \tan z = \frac{ \sin z }{ \cos z } } {.} Was ist die \definitionsverweis {Definitionsmenge}{}{} $D$ des \stichwort {Tangens} {?}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {} induziert, und dass die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} eine bijektive, streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {} induziert.

}
{} {}

Aufgrund von Korollar 21.4 ist die reelle Sinusfunktion und die reelle Kosinusfunktion bijektiv auf gewissen Intervallen. Die Umkehrfunktionen heißen folgendermaßen.

Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} { [-1,1]} {[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] } {x} { \arcsin x } {,} und heißt \definitionswort {Arkussinus}{.}

Die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der reellen \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} ist \maabbeledisp {} {[-1,1]} {[0, \pi] } {x} { \arccos x } {,} und heißt \definitionswort {Arkuskosinus}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Arkussinus}{}{} und \definitionsverweis {Arkuskosinus}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \in {]0,1]}, \\ 0 \text{ für } x = 0,\end{cases}} { }
\definitionsverweis {stetig}{}{} ist und unendlich viele \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
definierte Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.} Zeige, dass es zu jedem
\mathl{\lambda,\, - 1 \leq \lambda \leq 1}{,} eine Nullfolge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } \in \R_+}{} derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten
\mathdisp {{ \frac{ f(x_n) -f(0) }{ x_n } }} { }
gegen $\lambda$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungvier{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ (\sin x)^2 }{x}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x^2}$, }{$\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x-1}{ \ln x }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} für
\mathbed {x \in \R \setminus \{0\}} {}
{x \rightarrow 0} {}
{} {} {} {,} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungdrei{$\sin \frac{1}{x}$, }{$x \cdot \sin \frac{1}{x}$, }{$\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}$. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { \sin n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ \in }{ [0, { \frac{ \pi }{ 2 } }] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei eine Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq} {\sin x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Entscheide, ob
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {\R} {\R } {x} { (\sin x )^n } {,} auf \definitionsverweis {punktweise}{}{} und \definitionsverweis {gleichmäßige Konvergenz}{}{.} An welchen Punkten existiert die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{,} an welchen ist sie \definitionsverweis {stetig}{}{,} an welchen \definitionsverweis {differenzierbar}{}{?} Wie verhält sich die abgeleitete Funktionenfolge, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_n(x) }
{ = }{ f_n'(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mathl{F}{} eine komplexe, auf
\mathl{{\mathbb C}}{} konvergente \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { \sum _{ j = 0}^\infty c_{ j n } z^{ j n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel
\mathl{\zeta}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F( \zeta z) }
{ = }{F( z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{F=\sum _{ i= 0}^\infty c_i z^{ i }}{} eine komplexe auf
\mathl{{\mathbb C}}{} konvergente Potenzreihe und $n \in \N_+$. Für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel
\mathl{\zeta}{} gelte
\mathl{F( \zeta z) =F( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass
\mathl{c_i =0}{} für alle
\mathl{i}{} gilt, die kein Vielfaches von
\mathl{n}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $n \in \N_+$ und sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel. Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit
\mathl{f( \zeta z) =f( z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung
\mathl{f'(\zeta z) = \zeta^{n-1} f' ( z)}{} erfüllt.

}
{} {} Was bedeutet die vorstehende Aufgabe für gerade und ungerade Funktionen?

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Es gibt eine stetige Funktion \maabbdisp {g} {\R_{\geq 0}} {{\mathbb C} } {} mit
\mathl{f(z) = g ( \betrag { z })}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.} }{Für alle $n$-ten Einheitswurzeln
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{} \zusatzklammer {alle \mathlk{n \in \N}{}} {} {} ist
\mathl{f (\zeta z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.} }{Für alle
\mathl{w \in {\mathbb C}}{} mit
\mathl{\betrag { w } =1}{} ist
\mathl{f (w z)= f(z)}{} für alle
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme die Intervalle, auf denen die reelle Sinusfunktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {\sin x } {,} \definitionsverweis {konvex}{}{} bzw. \definitionsverweis {konkav}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \in {]0,1]}, \\ 0 \text{ für } x = 0,\end{cases}} { }
unendlich viele \definitionsverweis {isolierte lokale Maxima}{}{} und unendlich viele \definitionsverweis {isolierte lokale Minima}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {x} {f(x) } {,} die unendlich viele \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} und unendlich viele \definitionsverweis {isolierte lokale Maxima}{}{} besitzt, deren Funktionswert $\geq 1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass es keine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {x} {f(x) } {,} gibt, die unendlich viele \definitionsverweis {Nullstellen}{}{} besitzt derart, dass zwischen je zwei Nullstellen ein \definitionsverweis {lokales Maximum}{}{} existiert, dessen Funktionswert $\geq 1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{z_n \in {\mathbb C}}{} eine Folge von komplexen Zahlen, die wir in Polarkoordinaten als
\mathdisp {z_n =r_n e^{ { \mathrm i} \varphi_n}} { }
mit
\mathl{r_n \in \R_{\geq 0}}{} und
\mathl{\varphi_n \in [0, 2 \pi[}{} schreiben. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt. \aufzaehlungdrei{Die Folge
\mathl{r_n}{} konvergiert gegen
\mathl{0}{.} }{Die beiden Folgen
\mathl{r_n}{} und
\mathl{\varphi_n}{} konvergieren (in
\mathl{\R}{}). }{Die Folge
\mathl{r_n}{} konvergiert und die Folge
\mathl{\varphi_n}{} besitzt die Punkte
\mathl{0}{} und
\mathl{2 \pi}{} als einzige Häufungspunkte.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mathl{A_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n }
{ \leq }{ A_{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}