Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe ${}f+g$ ebenfalls konvex ist.

Aufgabe

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn ${}-f$ konkav ist.

Aufgabe

Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz ${}f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Es seien

f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt ${}fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ . Zeige, dass ${}f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ mit ${}a,b\in I$ die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft.

(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad ${}\geq 3$ . Zeige, dass ${}f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ${}R>0$ . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ${}\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$ ebenfalls ${}R$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}\cdot \exp \left(z^{3}-4z\right).

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich ${}2\%$ . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

f'=f{\text{ und }}f(0)=1.

Zeige, dass ${}f(x)=\exp x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ ist.

f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$ .

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$ .

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)(\cos z).

Aufgabe

Bestimme für ${}n\in \mathbb {N}$ die Ableitung der Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (\sin z)^{n}.

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

\sinh z:={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Die für ${}z\in {\mathbb {C} }$ durch

{}\cosh z={\frac {1}{2}}{\left(e^{z}+e^{-z}\right)}\,

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist ${}z\in {\mathbb {C} }$ .)

$\cosh z+\sinh z=e^{z}.$
$\cosh z-\sinh z=e^{-z}.$
$(\cosh z)^{2}-(\sinh z)^{2}=1.$
$\cosh {\mathrm {i} }z=\cos z{\text{ und }}\sinh {\mathrm {i} }z={\mathrm {i} }\cdot \sin z.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$ . Zeige die Jensensche Ungleichung