Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien

$f,g:I⟶ℝ$

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe $f+g$ ebenfalls konvex ist.

Aufgabe

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn $-f$ konkav ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g:I⟶ℝ$

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz $f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Es seien

$f,g:I⟶ℝ$

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt $fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

Aufgabe

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine stetige Funktion auf einem Intervall  $I\subseteq ℝ$.  Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ mit  $a,b\in I$  die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.

(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)

Aufgabe

Es sei $I\subseteq ℝ$ ein Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ für alle $x\in I$ gilt.

Aufgabe

Es sei $f\in ℝ[X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad $\ge 3$. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{z}^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼z^2\cdot \exp (z^3-4z).$

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln :{ℝ}_{+}⟶ℝ.$

Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2\mathrm{\%}$. Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x),$

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

$f^{\prime }=f\text{ und }f(0)=1.$

Zeige, dass  $f(x)=\exp x$  für alle  $x\in ℝ$  ist.

Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von $e^{\mathrm{i}}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10  (4).

Aufgabe

Bestimme die $1034871$-te Ableitung der Sinusfunktion.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=\cos (\ln x).$

a) Bestimme die Ableitung $f^{\prime }$.

b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼(\sin z)(\cos z).$

Aufgabe

Bestimme für $n\in \mathbb{N}$ die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼(\sin z{)}^n.$

Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.

Die für  $z\in ℂ$  durch

$\sinh z:=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})$

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

Die für  $z\in ℂ$  durch

$\cosh z:=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})$

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist $z\in ℂ$).

1. $\cosh z+\sinh z=e^z.$

2. $\cosh z-\sinh z=e^{-z}.$

3. $(\cosh z{)}^2-(\sinh z{)}^2=1.$

4. $\cosh \mathrm{i}z=\cos z.$

5. $\sinh \mathrm{i}z=\mathrm{i}\cdot \sin z.$

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine konvexe Funktion, seien $x_1,\dots ,x_n\in I$ und $t_1,\dots ,t_n\in {ℝ}_{\ge 0}$ mit $\sum _{i=1}^n{t}_i=1$. Zeige die Jensensche Ungleichung

$f\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{t}_{i}f(x_i).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion

$f(x)=2x^4-x^3-3x^2+7x+5.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ$

eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\sin (\cos z).$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼x^x.$