Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 20

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige, dass die Summe ebenfalls konvex ist.


Aufgabe

Es sei

eine Funktion. Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn konkav ist.


Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.


Aufgabe

Es seien

konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.

(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)

Aufgabe

Es sei ein Intervall und

eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.


Aufgabe

Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?


Aufgabe

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften

Zeige, dass ist für alle .


Aufgabe

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 20.9.


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10  (4).


Aufgabe

Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe

Bestimme für die Ableitung der Funktion


Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.


Die für durch

definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.


Die für durch

definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.


Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)


Aufgabe




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine konvexe Funktion, seien und mit . Zeige die Jensensche Ungleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion



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