Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{} über
\mathl{[-3,+4]}{} zur \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t) }
{ =} { \begin{cases} 5 , \text{ falls } -3 \leq t \leq -2 \, , \\ -3 , \text{ falls } -2 < t \leq -1 \, , \\ \frac{3}{7} , \text{ falls } -1 < t < -\frac{1}{2} \, , \\ 13 , \text{ falls } t = - \frac{1}{2} \, , \\ \pi , \text{ falls } - \frac{1}{2} < t < e \, , \\ 0 , \text{ falls } e \leq t \leq 3 \, , \\ 1 , \text{ falls } 3 < t \leq 4 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Unterteile das Intervall
\mathl{[-4,5]}{} in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf
\mathl{[-4,5]}{,} die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte
\mathl{2}{} und $-1$ annimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {[a,b]} {\R } {} an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} zwei \definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{.} Zeige, dass dann auch \aufzaehlungvier{
\mathl{f+g}{,} }{
\mathl{f \cdot g}{,} }{
\mathl{{\max { \left( f , g \right) } }}{,} }{
\mathl{{\min { \left( f , g \right) } }}{,} } Treppenfunktionen sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} { [c,d] } {} eine \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} und \maabbdisp {g} {[c,d]} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ 1 } t \, d t} { }
explizit über \definitionsverweis {obere}{}{} und \definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 2 } t^3 \, d t} { }
explizit über \definitionsverweis {obere}{}{} und \definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -2 }^{ 7 } -t^3+3t^2-2t+5 \, d t} { }
explizit über \definitionsverweis {obere}{}{} und \definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige \zusatzklammer {ohne Stammfunktionen zu verwenden} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 e^x dx }
{ =} { e-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die Funktion \maabbeledisp {} {]0,1]} {\R } {x} { \frac{1}{x} } {,} weder das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} noch das \definitionsverweis {Oberintegral}{}{} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $I =[a,b]$ ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es gebe eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{}
\mathbed {{ \left( s_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{s_n \leq f} {}
{} {} {} {} und eine Folge von Treppenfunktionen
\mathbed {{ \left( t_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{t_n \geq f} {}
{} {} {} {.} Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale \definitionsverweis {konvergieren}{}{} und dass ihre \definitionsverweis {Grenzwerte}{}{} übereinstimmen. Zeige, dass dann $f$ \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } s_n ( x) \, d x }
{ =} { \int_{ a }^{ b } f ( x) \, d x }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } t_n ( x) \, d x }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine monotone \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I =[a,b]$ ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{.} }{Es gibt eine Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{a_0 }
{ < }{a_1 }
{ < }{ \cdots }
{ < }{a_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b } { }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{} derart, dass die einzelnen Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i }
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Riemann-integrierbar sind. }{Für jede Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{a_0 }
{ < }{a_1 }
{ < }{ \cdots }
{ < }{a_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b } { }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{} sind die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i }
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Riemann-integrierbar. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I =[a,b] \subseteq \R}{} ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien \maabb {f,g} {I} {\R } {} zwei \definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Ist
\mathl{m \leq f(x) \leq M}{} für alle
\mathl{x \in I}{,} so ist
\mathl{m(b-a) \leq \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \leq M(b-a)}{.} }{Ist
\mathl{f(x) \leq g(x)}{} für alle
\mathl{x \in I}{,} so ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \leq \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t}{.} }{Es ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } f(t)+g(t) \, d t = \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t + \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t}{.} }{Für
\mathl{c \in \R}{} ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } (cf)(t) \, d t = c \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {kompaktes}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{} und \maabb {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass
\mathdisp {\betrag { \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t } \leq \int_{ a }^{ b } \betrag { f(t) } \, d t} { }
gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } t^2 \, d t} { }
in Abhängigkeit von \mathkor {} {a} {und} {b} {} explizit über \definitionsverweis {obere}{}{} und \definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[a,b]} {[c,d] } {} und einer \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} \maabbdisp {g} {[c,d]} {\R } {} derart, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} keine Treppenfunktion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass für die Funktion \maabbeledisp {} {]0,1]} {\R } {x} { \frac{1}{ \sqrt{x} } } {,} das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} existiert, aber nicht das \definitionsverweis {Oberintegral}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 2 } \frac{1}{t^2} \, d t} { }
explizit über \definitionsverweis {obere}{}{} und \definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {t} {f(t) } {,} mit
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} 0 \text{ für } t=0, \\ \sin \frac{1}{t} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases}} { }
Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist, dass es aber keine \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} $s$ mit der Eigenschaft gibt, dass
\mathl{\betrag { s(t)-f(t) } \leq { \frac{ 1 }{ 2 } }}{} für alle
\mathl{t \in [0,1]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien \maabb {f,g} {I} {\R } {} zwei \definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Zeige, dass auch $fg$ Riemann-integrierbar ist.

}
{} {}