Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 23
- Übungsaufgaben
a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.
b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.
Es sei
eine Treppenfunktion und
eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen mit und eine Folge von Treppenfunktionen mit . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann Riemann-integrierbar ist und dass
gilt.
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine monotone Funktion. Zeige, dass Riemann-integrierbar ist.
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Die Funktion ist Riemann-integrierbar.
- Es gibt eine Unterteilung derart, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind.
- Für jede Unterteilung sind die Einschränkungen Riemann-integrierbar.
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.
- Ist für alle , so ist .
- Ist für alle , so ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme das bestimmte Integral
in Abhängigkeit von und explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
und einer Treppenfunktion
derart, dass die Hintereinanderschaltung keine Treppenfunktion ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Aufgabe (8 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
mit
Zeige, dass Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion mit der Eigenschaft gibt, dass für alle ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.
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