Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \sqrt{\pi} } x \sin x^2 \, d x} { . }

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\tan x} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^n \cdot \ln x} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^{\sqrt{x} }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ x^3 }{ \sqrt[5]{ x^4+2} } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ \sin^{ 2 } x }{ \cos^{ 2 } x } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^3 \cdot \cos x -x^2 \cdot \sin x} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\arcsin x} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1+3 \sqrt[6]{x-2} }{ \sqrt[3]{(x-2)^2} - \sqrt{x-2} } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {( \ln ( 1+ \sin x ) ) \cdot \sin x} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und es seien
\mathl{b,c \in \R}{.} Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {(bt+c) \cdot f(t)} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {[c,d] } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral
\mathdisp {\int_c^d f^{-1}(y) dy} { }
die Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durchführt und anschließend partiell integriert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+ } {x} {x^{1/n} } {,} unter Verwendung der Stammfunktion von $x^n$ und Satz 25.5.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das bestimmte Integral
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ x }{ \sqrt[3]{5x+1} } } dx} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sin ( \ln x)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^x \cdot { \frac{ x^2+1 }{ (x+1)^2 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und $H$ eine Stammfunktion von $G$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {{ \left( at^2+bt+c \right) } \cdot f(t)} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (2+3)}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {[c,d]} {[a,b] } {} eine \definitionsverweis {streng wachsende}{}{,} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} eine \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{.}

a) Zeige, dass
\mathl{f \circ \varphi}{} ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Es sei nun $\varphi$ zusätzlich \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{.} Bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t }
{ =} { \int_{ c }^{ d } f(\varphi(s)) \varphi'(s) \, d s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabb {g} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Betrachte die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} {\int_{0}^{x} \sin (t) g(x-t) dt }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ eine \definitionsverweis {zweite Ableitung}{}{} besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^{\prime \prime} + f }
{ =} { g }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable $x$ nicht mehr als Argument der Funktion $g$ auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)}

\inputaufgabe
{5}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Funktion.Flaechenvariation.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Funktion.Flaechenvariation.png } {M. Gausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{?} Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?

}
{} {}