Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 35/latex

\setcounter{section}{35}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$. Zeige für den \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $T$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{T} }
{ =} { \bigcap_{T \subseteq A \subseteq M, \, A \text{ abgeschlossen} } A }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $\Q$ in $\R$

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es sei \maabbdisp {f} {T} {V } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} in einen \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$ mit den \definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{} \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {T} {\R } {} bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} { }
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f_j(x)} { }
existieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es seien \maabb {f} {T} { {\mathbb K} } {} und \maabb {g} {T} { {\mathbb K} } {} \definitionsverweis {Funktionen}{}{} derart, dass die \definitionsverweis {Grenzwerte}{}{} \mathkor {} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} {und} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} {} existieren. Zeige, dass die folgenden Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{Die Summe
\mathl{f+g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x)+g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) + \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} { . }
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} besitzt einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, (f(x) \cdot g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) \cdot \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x)} { . }
}{Es sei
\mathl{g(x) \neq 0}{} für alle
\mathl{x \in T}{} und $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) \neq 0$. Dann besitzt der Quotient
\mathl{f/g}{} einen Grenzwert in $a$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) }{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, g(x) }} { . }
}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Neighborhood_edge.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Neighborhood edge.png } {} {Zasdfgbnm} {Commons} {gemeinfrei} {}

Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Randpunkt}{} von $T$, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der offene Ball
\mathdisp {U { \left( x,\epsilon \right) }} { }
sowohl Punkte aus $T$ als auch Punkte aus
\mathl{M \setminus T}{} enthält.

Die Menge aller Randpunkte von $T$ heißt \definitionswort {Rand}{} von $T$, geschrieben $\operatorname{Rand} \, (T)$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Rand}{}{} von $T$ gleich dem Durchschnitt von \mathkor {} {\overline{ T }} {und} {\overline{ M \setminus T }} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Rand}{}{} von $T$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {T \cup \operatorname{Rand} \, (T)} { }
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {T \setminus \operatorname{Rand} \, (T)} { }
\definitionsverweis {offen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist, wenn die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Rand} \, (T) }
{ \subseteq }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein nichtleeres \definitionsverweis {reelles}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{} und $x \in I$ ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von $I \setminus \{x\}$, die sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Zwischenwertsatz mit Satz 35.9 und Satz 35.10.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine \definitionsverweis {offene}{}{} \zusatzklammer {oder \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Kugel}{}{} im $\R^n$. Zeige, dass $T$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass $\R^n \setminus \{P\}$ \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
\mathl{I \subseteq \R}{} \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} auf \definitionsverweis {Zusammenhangseigenschaften}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in $\R$ der nichtleere Durchschnitt von \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} Teilmengen wieder zusammenhängend ist. Muss dies auch für den nichtleeren Durchschnitt von zusammenhängenden Teilmengen im $\R^2$ gelten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei $M=A \cup B$ mit nichtleeren Teilmengen $A,B \subseteq M$ und $A \cap B = \emptyset$. Es gebe ein $\delta > 0$ mit
\mathdisp {d(x,y) \geq \delta \text { für alle } x \in A,\, y \in B} { . }
Zeige, dass $A$ \zusatzklammer {und auch $B$} {} {} sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass der \definitionsverweis {Rand}{}{} von $T$ genau dann leer ist, wenn $T$ sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Es sei $T$ \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Abschluss}{}{} $\overline{ T }$ zusammenhängend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {offene}{}{,} nicht \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} Teilmenge
\mathl{U \subseteq \R^2}{} mit der Eigenschaft, dass der \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $U$ zusammenhängend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Abschluss}{}{} der Menge
\mathl{T= U { \left( 0,1 \right) } \cap \Q^2}{} in $\R^2$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,r }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \stichwort {Kreis} {} mit dem \stichwort {Mittelpunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ (a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dem \stichwort {Radius} {} $r$. Es sei $G$ eine \stichwort {Gerade} {} in $\R^2$ mit der Eigenschaft, dass es auf $G$ mindestens einen Punkt $P$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(M,P) }
{ \leq }{ r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K \cap G }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}