Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 34

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien und metrische Räume und . Zeige, dass die konstante Abbildung

stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität

stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und seien reelle Zahlen. Es seien

und

stetige Abbildungen mit . Zeige, dass dann die Abbildung

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Addition

und die Multiplikation

stetig sind.


Aufgabe

Es seien metrische Räume und seien

Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

stetig in ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

eine stetige Abbildung ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von abgeschlossen in ist.


Aufgabe *

Es seien und metrische Räume und es seien

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

abgeschlossen in ist.


Aufgabe

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

Zeige, dass eine Bijektion zwischen und dem Einheitskreis definiert, die stetig ist, deren Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.


Aufgabe

Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei

die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.


Aufgabe *

Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.


Aufgabe

Es sei ein halboffenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?


Aufgabe

Sei

eine Polynomfunktion und eine Basis von mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen . Zeige, dass auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.


Aufgabe

Es sei

eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei

eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung eine polynomiale Funktion ist.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Determinante

eine polynomiale Funktion ist.


Aufgabe

Sei und sei die Menge der reellen invertierbaren -Matrizen. Zeige, dass die Abbildung

stetig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?


Aufgabe (8 Punkte)

Ein Billardtisch sei cm breit und cm lang, die Kugeln haben einen Radius von cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis[1] mit Radius cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine Homöomorphie zwischen und an.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein offenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?


Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ein abgeschlossenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?




Fußnoten
  1. Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis.


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