Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 35

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Der Abschluss in einem metrischen Raum

Definition  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt


Definition  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von heißt der Abschluss von . Er wird mit bezeichnet.

Der Abschluss ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die umfasst, siehe Aufgabe 35.1.



Grenzwerte von Abbildungen

Definition  

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man

Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt.

Notation

In der Situation von Definition 35.3 wird der Grenzwert, falls er existiert, mit

bezeichnet.



Beispiel  

Es sei

(mit der von induzierten Metrik),

und , der ein Berührpunkt von ist. Eine Abbildung

in einen metrischen Raum ist dasselbe wie eine Folge in , da ja einfach jedem ein Element zugeordnet wird. Sei . Dann besitzt die Abbildung in den Grenzwert genau dann, wenn die Folge gegen konvergiert.




Lemma  

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Abbildung besitzt in den Grenzwert .
  2. Zu jeder offenen Menge mit gibt es eine offene Menge mit und mit .
  3. Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert die Bildfolge gegen .

Beweis  

. Da offen ist gibt es ein mit . Aufgrund von (1) gibt es ein mit und wir können nehmen.
. Sei eine gegen konvergente Folge und ein gegeben. Für die offene Menge gibt es nach (2) eine offene Menge mit und . Wegen der Offenheit von gibt es auch ein mit . Da die Folge konvergiert, gibt es ein mit für alle . Für diese ist dann , d.h. die Bildfolge konvergiert.
.  Nehmen wir an, dass nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle ein gibt mit und mit . Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche  , , an und erhalten eine Folge

Die Folge konvergiert dann gegen , die Bildfolge aber nicht gegen ,  im Widerspruch zu (3).



Lemma

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren.

Dann gelten folgende Beziehungen.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist

Beweis

Siehe Aufgabe 35.4.




Zusammenhängende Räume
Die rote Menge ist zusammenhängend, die grüne Menge nicht.



Definition  

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von gibt (nämlich und selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Den leeren metrischen Raum bezeichnet man gemäß dieser Definition als nicht zusammenhängend (oder unzusammenhängend). Ein nichtleerer nicht zusammenhängender Raum ist dadurch ausgezeichnet, dass man als disjunkte Vereinigung schreiben kann, wobei und beide nichtleer und in abgeschlossen (und damit auch beide offen) sind.

Das Tierchen Trichoplax adhaerens hat merkwürdige Zusammenhangseigenschaften. Es ist ein zusammenhängender Vielzeller. Wenn man es durch ein Sieb drückt, so dass die einzelnen Zellen voneinander getrennt werden, entstehen unzusammenhängende Zellen. Diese finden dann aber wieder zueinander und es entsteht erneut ein zusammenhängendes lebendiges Tierchen.


In der folgenden Aussage verstehen wir unter Intervalle auch die (einseitig oder beidseitig) unbeschränkten Intervalle, wie z.B. .



Satz  

Sei eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Dann ist genau dann zusammenhängend, wenn ein (nichtleeres) Intervall ist.

Beweis  

Sei zuerst kein Intervall. Wenn leer ist, so ist nach Definition nicht zusammenhängend. Sei also , aber kein Intervall. Dann gibt es nach Aufgabe 6.10 und mit

Dann ist die Menge

sowohl offen als auch abgeschlossen in , da man sowohl als Durchschnitt von mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen und ist sie weder noch , also ist nicht zusammenhängend.
Sei nun ein nichtleeres Intervall und  sei angenommen, dass es eine Teilmenge mit gibt, die in sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei und  , . Wir betrachten das (abgeschlossene und beschränkte) Intervall (ohne Einschränkung sei ) und setzen . Dies ist eine in offene und abgeschlossene Teilmenge von , die wegen nicht leer ist und wegen nicht ganz ist. D. h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall zu zeigen. Wir betrachten die reelle Zahl , die wegen Satz 7.5 existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört zu und aufgrund von Korollar 33.17 ist . Da aber auch offen in ist, gibt es ein mit . Da das Supremum von ist, folgt . Die gleiche Argumentation für ergibt , ein Widerspruch.


Insbesondere sind also die reellen Zahlen zusammenhängend. Dies gilt auch für die komplexen Zahlen und für (siehe weiter unten). Für die rationalen Zahlen gilt die vorstehende Aussage nicht, dort sind nämlich nur die einpunktigen Intervalle zusammenhängend, alle anderen Intervalle sind in unzusammenhängend, da es zwischen zwei rationalen Zahlen stets irrationale Zahlen gibt, mit deren Hilfe man Teilmenge definieren kann, die zugleich offen als auch abgeschlossen sind.



Zusammenhängende Räume und stetige Abbildungen



Satz  

Seien und metrische Räume und sei

eine stetige Abbildung. Es sei eine zusammenhängende Teilmenge.

Dann ist auch das Bild

zusammenhängend.

Beweis  

 Sei und eine offene und abgeschlossene Teilmenge, die weder leer noch ganz sei. Die eingeschränkte Abbildung

ist ebenfalls stetig, und sie ist auch surjektiv. Daher ist eine offene und abgeschlossene Teilmenge in , die ebenfalls weder leer noch ganz ist, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass zusammenhängend ist.


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Daraus ergibt sich auch ein neuer Beweis für den Zwischenwertsatz aus Analysis I.



Wegzusammenhängende Räume

Definition  

Ein nichtleerer metrischer Raum heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten eine stetige Abbildung

mit und gibt.



Lemma  

Beweis  

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmenge und . Sei und . Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung

mit und . Dann ist

eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu Satz 35.9.


Mit dieser Aussage lässt sich häufig zeigen, dass gewisse Teilmengen des zusamenhängend sind. Beispielsweise ist der selbst sowie die offenen und abgeschlossenen Kugeln darin zusammenhängend, siehe Aufgabe 35.13.



Satz  

Es sei eine offene Teilmenge.

Dann ist genau dann zusammenhängend, wenn wegzusammenhängend ist.

Beweis  

Die eine Richtung folgt aus Lemma 35.12. Für die andere Richtung sei zusammenhängend. Zu einem Punkt betrachten wir die Menge

Diese Menge ist offen, da offene Bälle wegzusammenhängend sind und man stetige Wege aneinander legen kann. Aus diesem Grund ist für zwei Punkte entweder oder aber . Wenn nicht wegzusammenhängend wäre, so wäre und es gäbe eine Zerlegung

in nichtleere offene Teilmengen im Widerspruch zum Zusammenhang.


Für nicht offene Teilmengen des gilt die vorstehende Äquivalenz nicht, siehe Aufgabe 35.16.


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