Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex
\setcounter{section}{44}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb R}^2 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y)} {{ \left( x^3y-x^2,x^4y^2-3xy^3+5y \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb R}^3 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} { { \left( x^2yz^3- \sin x , \exp (x^4y) -2x^2z^3 \cos (xy^2z) \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { { \left\{ (x,y) \in {\mathbb R}^2 \mid y \neq 0 \right\} } } {{\mathbb R} } {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2 \setminus\{(0,0)\}} {\R^3 } {(x,y)} { \left( { \frac{ \sin x }{ x^2+y^4 } } , \, { \frac{ x^2y }{ x^2+y^2 } } , \, \ln (x^2+y^2) \right) } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {höheren Richtungsableitungen}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}
} {(x,y)} {x^2y^3-x^3y
} {,}
die sich mit den beiden Standardrichtungen
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{(0,1)}{} ausdrücken lassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} in reellen Koordinaten und bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{.} Ebenso für $z^3, z^4, z^5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} \maabb {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} beliebig oft \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{,}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine $n$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\sigma \in S_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_{ v_n}(... D_{ v_2} (D_{ v_1}\varphi ) \ldots )
}
{ =} { D_{ v_{\sigma(n)} }(... D_{ v_{\sigma(2)} } (D_{ v_{\sigma(1)} }\varphi ) \ldots )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^3 } {{\mathbb K}^3 } {(x,y,z)} { { \left( \sin xy ,x^2y^3z^4-y \sinh z, xy^2z+5 \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } {(x,y)} {xy^3-x^2y^2-4y^2 } {.}
Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
dieser Abbildung in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{.} Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor
\mathl{(2,5)}{} anwendet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass keine
\definitionsverweis {partiell differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
existiert, sodass
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } (x,y) = xy \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (x,y) = y^2} { }
für alle $(x,y) \in \R^2$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass sämtliche $k$-ten
\definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {\varphi(x,y)
} {,}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
für die in jedem Punkt
\mathl{P \in \R^2}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 }{ \partial y \partial x } } \varphi (P)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y)
}
{ =} {f(x) + g(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { \begin{cases} xy { \frac{ x^2-y^2 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zweimal
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_1D_2f(0,0)
}
{ \neq} { D_2D_1f(0,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
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