Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 45

Übungsaufgaben

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.

Aufgabe

Es sei $φ : V \to W$ konstant mit $φ (v) = w \in W$ für alle $v \in V$ . Zeige, dass $φ$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$ .

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $𝕂$ -Vektorräume und $G \subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei $φ : G \to W$ im Punkt $P \in G$ differenzierbar mit dem Differential ${(D φ)}_{P}$ . Zeige, dass für alle $a \in 𝕂$ die Beziehung

{(D (a φ))}_{P} = a {(D φ)}_{P}

gilt.

Aufgabe

Es sei

f : 𝕂^{n} ⟶ 𝕂

eine Polynomfunktion. Zeige, dass $f$ im Nullpunkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe

Es sei

f : 𝕂^{n} ⟶ 𝕂

eine Polynomfunktion. Zeige, dass $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe

Es seien $V$ , $W_{1}$ und $W_{2}$ endlichdimensionale $𝕂$ -Vektorräume.

Es seien $L_{1} : V \to W_{1}$ und $L_{2} : V \to W_{2}$ $𝕂$ -lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung
$L_{1} \times L_{2} : V ⟶ W_{1} \times W_{2}, v ⟼ (L_{1} (v), L_{2} (v)),$

$𝕂$ -linear ist.
Es seien $f_{1} : V \to W_{1}$ und $f_{2} : V \to W_{2}$ im Punkt $P \in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung
$f = (f_{1} \times f_{2}) : V ⟶ W_{1} \times W_{2}, Q ⟼ (f_{1} (Q), f_{2} (Q)),$

im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

${(D f)}_{P} = {(D f_{1})}_{P} \times {(D f_{2})}_{P} .$

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

φ : 𝕂 \times V ⟶ V, (s, v) ⟼ s v,

in jedem Punkt $P = (s, v)$ differenzierbar ist mit

{(D φ)}_{P} (t, w) = t v + s w .

f, g : I ⟶ ℝ

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.1.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $ℝ$ -Vektorraum und $G \subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien $f, g : G \to ℝ$ zwei in $P \in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.1 auf das Diagramm

G \overset{f, g}{⟶} ℝ \times ℝ \overset{mult}{⟶} ℝ

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

{(D (f \cdot g))}_{P} = g (P) \cdot {(D f)}_{P} + f (P) \cdot {(D g)}_{P}

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein Intervall, $W$ ein euklidischer Vektorraum und

φ : I ⟶ W

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

{(D φ)}_{t} (1) = φ^{'} (t)

besteht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $𝕂$ -Vektorräume, $G \subseteq V$ eine offene Menge, $φ : G \to W$ eine Abbildung und $L : V \to W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

$φ$ ist differenzierbar in $P$ mit dem totalen Differential $L$ .
Der Limes
$\lim_{v \to 0, v \neq 0} \frac{φ (P + v) - φ (P) - L (v)}{‖ v ‖}$

existiert und ist gleich $0$ .
Der Limes
$\lim_{v \to 0, v \neq 0} \frac{‖ φ (P + v) - φ (P) - L (v) ‖}{‖ v ‖}$

existiert und ist gleich $0$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $f_{1}, \dots, f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n}, (x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ (f_{1} (x_{1}), \dots, f_{n} (x_{n})) .

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $𝕂$ -Vektorräume, $G \subseteq V$ eine offene Menge, $P \in G$ ein Punkt, $φ : G \to W$ und $f : G \to 𝕂$ in $P$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

f \cdot φ : G ⟶ W

in $P$ differenzierbar ist mit

{(D (f \cdot φ))}_{P} = f (P) \cdot {(D φ)}_{P} + {(D f)}_{P} \cdot φ (P) .

Tipp: Verwende Aufgabe 45.7 und die Kettenregel.

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