Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex
\setcounter{section}{54}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es seien
\mathl{L,L_1 , \ldots , L_m}{}
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i = 1}^m \operatorname{kern} L_i
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn $L$ zu dem von den
\mathl{L_1 , \ldots , L_m}{}
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{}
\zusatzklammer {im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}} {} {}
gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y)
}
{ =} {5x+3y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf der Ellipse
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 2x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.
\inputaufgabe
{}
{
Für welche Punkte
\mathl{(t,t^2)}{} der
\definitionsverweis {Standardparabel}{}{}
wird der
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
zum Punkt
\mathl{(0,1)}{} minimal?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
an die Hyperbel
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid xy = 1 \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} {[0,2 \pi [} {\R^2
} {t} { \left( \cos^{ 3 } t , \, \sin^{ 3 } t \right)
} {,}
eine
\definitionsverweis {bijektive Parametrisierung}{}{}
der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf der Standardastroide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter Verwendung der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ = }{\left( \cos^{ 3 } t , \, \sin^{ 3 } t \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen Parametrisierung
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 54.5} {} {}
von $M$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y,z)
}
{ =} {3x+4y+2z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem Ellipsoid
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x^2+y^2+3z^2 = 4 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
an die Astroide
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid { \left( x^2+y^2-1 \right) }^3+27 x^2y^2 = 0 \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten im Einheitswürfel
\mathl{E=[-1,1]^3 \subseteq \R^3}{} eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten
\zusatzklammer {\mathlk{-1 \leq a,b \leq 1}{}} {} {}
\mathdisp {(1,a,-1),\, (b,1,-1),\, (-1,-a,1),\, (-b,-1,1)} { . }
\aufzaehlungvier{Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
}{Unter welcher Bedingung an $a,b$ handelt es sich um ein Raute?
}{Unter welcher Bedingung an $a,b$ handelt es sich um ein Quadrat?
}{Für welche $a,b$ erhält man eine Raute mit maximalem Flächeninhalt?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R^2} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{}
derart, dass die Nullfasern
\mathkor {} {M= { \left\{ (x,y) \in \R \mid f(x,y) = 0 \right\} }} {und} {N= { \left\{ (x,y) \in \R \mid g(x,y) = 0 \right\} }} {}
\definitionsverweis {disjunkt}{}{}
sind und beide nur
\definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{}
besitzen. Es sei
\mathdisp {(P,Q) \in M \times N \subseteq \R^2 \times \R^2} { }
ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
parallel sind.
}
{} {}
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