Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 55

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$, die gegen ${}x\in M$ konvergiert. Es sei ${}T$ eine Menge und es seien

$f_{n}\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f_{n}(t)=x_{n},$

die zu ${}x_{n}$ gehörenden konstanten Funktionen. Zeige, dass die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen die konstante Funktion

$f\colon T\longrightarrow M,\,t\longmapsto f(t)=x,$

konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine endliche Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow X$

eine Abbildungsfolge in einen metrischen Raum ${}X$. Zeige, dass diese Folge genau dann punktweise konvergiert, wenn sie gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}(Y,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq Y$  eine Teilmenge. Es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}$ und

$g_{n}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen. Zeige, dass diese Folge genau dann gleichmäßig konvergiert, wenn die auf ${}T$ eingeschränkte Folge ${}f_{n}=g_{n}{|}_{T}$ gleichmäßig konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei  ${}M=\operatorname {Abb} \,(T,E)$  versehen mit der Supremumsnorm. Beweise die folgenden Eigenschaften für diese „Norm“ (dabei ist der Wert ${}\infty$ erlaubt und sinnvoll zu interpretieren).

1.  ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$  für alle  ${}f\in M$. 
2.  ${}\Vert {f}\Vert =0$  genau dann, wenn  ${}f=0$  ist.
3. Für  ${}\lambda \in \mathbb {R}$  und  ${}f\in M$  gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für  ${}g,f\in M$  gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Aufgabe

Es sei

$C=C^{0}([0,1],\mathbb {R} )$

die Menge der stetigen Funktionen, die mit der Supremumsnorm versehen sei. Skizziere zu ${}\epsilon >0$ die offene und die abgeschlossene ${}\epsilon$-Umgebung von einem ${}f\in C$.

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Norm, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist  ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$  für alle  ${}v\in V$. 
2. Es ist  ${}\Vert {v}\Vert =0$  genau dann, wenn  ${}v=0$  ist.
3. Für  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$  und  ${}v\in V$  gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für  ${}v,w\in V$  gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Die Norm zu einem Skalarprodukt erfüllt diese Eigenschaften.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${}M$ eine Norm ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein normierter ${}\mathbb {R}$- Vektorraum durch

${}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und

${}M={\left\{f:T\rightarrow E\mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,$

die Menge der beschränkten Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$. Zeige, dass eine Folge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${}M$ genau dann gegen  ${}f\in M$  gleichmäßig konvergiert, wenn diese Folge im durch die Supremumsnorm gegebenen metrischen Raum ${}M$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare reguläre Kurve. Zeige, dass die Faser über jedem Punkt  ${}c\in \mathbb {R} ^{n}$  endlich ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und ${}E$ ein euklidischer Vektorraum. Es sei ${}C=C^{0}(T,E)$ der Raum der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$, versehen mit der Supremumsnorm. Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in T$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}\in E$ Punkte. Zeige, dass die Teilmenge

${\left\{f\in C\mid f(x_{1})=y_{1},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}\right\}}$

abgeschlossen in ${}C$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}M_{k}={\left({\left(a_{ij}\right)}_{k}\right)}_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$  eine Folge von reellen ${}m\times n$-Matrizen und

$\varphi _{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge ${}{\left(a_{ij}\right)}_{k}$ für alle ${}i,j$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.