Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Test/Klausur/latex
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Mengenalgebra} {} auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Borelmenge} {} in einem topologischen Raum
\mathl{(X,{\mathcal T })}{.}
}{Eine \stichwort {messbare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} zwischen zwei \definitionsverweis {Messräumen}{}{} \mathkor {} {(M, {\mathcal A })} {und} {(N, {\mathcal B })} {.}
}{Eine \stichwort {Ausschöpfung} {} einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Maß} {} auf einem Messraum
\mathl{(M,{\mathcal A })}{}
\zusatzklammer {ohne Bezug auf ein Prämaß} {} {.}
}{Ein \stichwort {translationsinvariantes} {} Maß auf
\mathl{(\R^n,{\mathcal B }(\R^n) )}{.}
}{Das \stichwort {Lebesgue-Integral} {} zu einer messbaren nichtnegativen Funktion
\maabb {f} {M} {\overline{ \R }
} {}
auf einem
$\sigma$-\definitionsverweis {endlichen Maßraum}{}{}
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{.}
}{Der \stichwort {Limes inferior} {} zu einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Der \stichwort {Eindeutigkeitssatz für Maße} {.}}{Die \stichwort {Formel} {} für
\mathl{\lambda^n(L(S))}{} für eine Borelmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter einer linearen Abbildung
\maabb {L} {\R^n} {\R^n
} {.}}{Der \stichwort {Satz von der majorisierten Konvergenz} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Satz von Lebesgue} {}} {} {.}}{Das \stichwort {Cavalieri-Prinzip} {} für eine messbare Teilmenge
\mathl{T \subseteq M \times N}{} zu
$\sigma$-\definitionsverweis {endlichen Maßräumen}{}{}
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal T } )}{} ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\mathl{{\mathcal A }}{} die davon erzeugte
\definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{.}
Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
\mathdisp {(U_1 \cap A_1) \cup ( U_2 \cap A_2) \cup \ldots \cup (U_n \cap A_n)} { }
mit offenen Mengen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n}{} und abgeschlossenen Mengen
\mathl{A_1 , \ldots , A_n}{} besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei abzählbare Mengen, die beide mit der $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} aller Teilmengen und mit dem Zählmaß \zusatzklammer {genannt $\mu$ bzw. $\nu$} {} {} versehen seien.
a) Zeige, dass \mathkor {} {M} {und} {N} {} $\sigma$-\definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Maßräume}{}{} sind.
b)
Zeige, dass das Produktmaß
\mathl{\mu \otimes \nu}{} auf
\mathl{M \times N}{} ebenfalls das Zählmaß ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 4 \\-5\\ 6 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 7 \\8\\ 9 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$ erzeugten Parallelotops.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und \maabb {f} {M} {\R_{\geq 0} } {} eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion \maabbeledisp {\sqrt{f}} {M} {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{f(x)} } {,} messbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9}
{
Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
\mathdisp {B \left( 0,1 \right) = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq 1 \right\} }} { }
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke
\mathl{[a,b] \times [c,d] \subseteq B \left( 0,1 \right)}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \leq b}{} und \mathlk{c \leq d}{}} {} {}
überdecken lässt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R_{\geq 0} } {t} {t+ \sqrt{t} +1 } {,} um die $t$-Achse rotieren lässt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R_+
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\zusatzklammer {mit $a \leq b$ aus $\R$} {} {.}
Zeige direkt
\zusatzklammer {ohne die Transformationsformel} {} {,}
dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x, f(x) \cos \alpha , f(x) \sin \alpha ) \mid x \in [a,b] , \, \alpha \in [0, 2 \pi[ \right\} }
}
{ \subseteq} {\R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das Volumen $0$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\mathbed {A_t} {}
{t \in \R} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {messbaren Mengen}{}{}
mit den zugehörigen Indikatorfunktionen
\mathl{e_{ A_t }}{.} Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {f} {\R \times M} { \R
} {(t,x)} {f(t,x) = e_{ A_t }(x)
} {.}
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {t} { \varphi(t) = \int_{ M } f(t,x) \, d \mu(x) } {,} nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+2+2)}
{
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} mit einer reellen Zahl aus
\mathl{[c,d]}{} multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus
\mathl{[a,b]}{} durch eine reelle Zahl aus
\mathl{[c,d]}{}
\zusatzklammer {
\mathl{c>0}{}} {} {}
dividiert?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{[-1,3] \times [0,2]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {(x,y)} {(x^3,y-x^2)
} {.}
}
{} {}