Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt

Stetige Abhängigkeit des Integrals

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}E$ ein metrischer Raum, ${}t_{0}\in E$ und

$f\colon E\times M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle ${}t\in E$ ist die Funktion ${}x\mapsto f(t,x)$ messbar.
2. Für alle ${}x\in M$ ist die Funktion ${}t\mapsto f(t,x)$ stetig in ${}t_{0}$.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   mit

   ${}\vert {f(t,x)}\vert \leq h(x)\,$

   für alle ${}t\in E$ und alle ${}x\in M$.

Dann ist die Funktion

$\varphi \colon E\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x),$

wohldefiniert und stetig in ${}t_{0}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen