Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt

Stetige Abhängigkeit des Integrals

Es sei $(M,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $E$ ein metrischer Raum,  $t_0\in E$  und

$f:E\times M⟶\overline{ℝ},(t,x)⟼f(t,x),$

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.

1. Für alle  $t\in E$  ist die Funktion $x\mapsto f(t,x)$ messbar.
2. Für alle  $x\in M$  ist die Funktion $t\mapsto f(t,x)$ stetig in $t_0$.
3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

   $h:M⟶\overline{ℝ}$

   mit

   $|f(t,x)|\le h(x)$

   für alle  $t\in E$  und alle  $x\in M$. 

Dann ist die Funktion

$\phi :E⟶ℝ,t⟼\phi (t)={\int }_{M}f(t,x)d\mu (x),$

wohldefiniert und stetig in $t_0$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen