Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt

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Stetige Abhängigkeit des Integrals

Es sei ein -endlicher Maßraum, ein metrischer Raum, und

eine Funktion,

die die folgenden Eigenschaften erfülle.
  1. Für alle ist die Funktion messbar.
  2. Für alle ist die Funktion stetig in .
  3. Es gibt eine nichtnegative messbare integrierbare Funktion

    mit

    für alle und alle .

Dann ist die Funktion

wohldefiniert und stetig in .

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen