Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Test/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Mengenalgebra auf einer Menge .
  2. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum .
  3. Eine messbare Abbildung

    zwischen zwei Messräumen und .

  4. Eine Ausschöpfung einer Menge .
  5. Ein Maß auf einem Messraum (ohne Bezug auf ein Prämaß).
  6. Ein translationsinvariantes Maß auf .
  7. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion auf einem -endlichen Maßraum .
  8. Der Limes inferior zu einer reellen Folge .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
  2. Die Formel für für eine Borelmenge unter einer linearen Abbildung .
  3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
  4. Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge zu -endlichen Maßräumen und .


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien und zwei abzählbare Mengen, die beide mit der -Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt bzw. ) versehen seien.

a) Zeige, dass und -endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß auf ebenfalls das Zählmaß ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

im erzeugten Parallelotops.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Messraum und eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass auch die Funktion

messbar ist.


Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke

(mit und ) überdecken lässt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

um die -Achse rotieren lässt.


Aufgabe * (10 Punkte)

Es sei

eine positive stetige Funktion (mit aus ). Zeige direkt (ohne die Transformationsformel), dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

das Volumen besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein endlicher Maßraum und , , eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen . Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass die Abbildung

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus () dividiert?


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung


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