Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 10/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} mit $m$ Elementen und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl $k$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k }
{ \leq} { m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Zeige ferner, dass $T$ genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ k }
{ <} { m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {endliche Menge}{}{} mit $m$ Elementen und es sei \maabbdisp {} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{} in eine weitere Menge $N$. Zeige, dass dann auch $N$ endlich ist, und dass für ihre Anzahl $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq} { m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {endliche Mengen}{}{} mit $n$ Elementen. Zeige, dass für eine Abbildung \maabbdisp {F} {M} {N } {} die Begriffe \definitionsverweis {injektiv}{}{,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} und \definitionsverweis {bijektiv}{}{} äquivalent sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {ganzen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {irrationalen Zahlen}{}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Nehmen wir an, dass auf der Erde \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} viele Menschen leben würden, und dass jeder Mensch genau einen Euro besitzt. Finde eine \anfuehrung{Umverteilungsvorschrift}{,} die jeden Menschen zu einem Euro-Milliardär macht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Barbier von Sevilla behauptet, dass er genau diejenigen Bürger von Sevilla rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weise nach, dass er lügt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (\N )}{} und die Menge der Abbildungen
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( \N , \mathfrak {P} \, (\N ) \right) }}{} \definitionsverweis {gleichmächtig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} von $\N$ \definitionsverweis {gleichmächtig}{}{} zu $\R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir nennen eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} \stichwort {adressierbar} {,} wenn es einen endlichen Text \zusatzklammer {über einem fixierten endlichen Alphabet, das aus mathematischen oder sonstigen Symbolen besteht} {} {} gibt, der diese Zahl eindeutig beschreibt. Ist die Menge dieser Zahlen \definitionsverweis {abzählbar}{}{?} Was ergibt sich, wenn man das Diagonalargument aus dem Beweis zu Satz 10.13 anwendet?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {endlichen}{}{} Teilmengen von $M$ abzählbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} einer Menge niemals \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Menge der Abbildungen von $\N$ nach $\N$ die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe eine \definitionsverweis {Folge}{}{} \definitionsverweis {rationaler Zahlen}{}{} derart an, dass jede reelle Zahl ein \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} dieser Folge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten die Familie der \definitionsverweis {Kochschen Schneeflocken}{}{,} wobei die Grundseite des gleichseitigen Ausgangsdreiecks $K_0$ das Einheitsintervall sei. Zeige, dass es \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} viele Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die für jedes $K_n$ zur Kante gehören.

}
{} {}