Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 9

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Aufgabe

Zeige, dass bei einer Folge die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert, und dass bei Reihen die Änderung von endlich vielen Reihengliedern zwar die Konvergenz nicht ändert, wohl aber die Summe.


Aufgabe

Zeige, dass die beiden Reihen

divergieren.


Aufgabe

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.


Aufgabe

Es seien

konvergente Reihen von komplexen Zahlen mit den Summen und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Die Reihe mit ist ebenfalls konvergent mit der Summe .
  2. Für ist auch die Reihe mit konvergent mit der Summe .


Aufgabe

In einer Studenten-WG bereitet Studi 1 Kaffee zu, und füllt die Menge Kaffee in den Kaffeefilter. Dies sieht entsetzt Studi 2 und sagt: „Willst Du, dass wir alle schon total wach werden?“ und nimmt die Kaffeemenge wieder aus dem Filter heraus. Danach kommt Studi 3 und sagt: „Bin ich hier in einer Weicheier-WG gelandet?“ und kippt wieder eine Kaffeemenge dazu. So geht es unendlich weiter, wobei sich Kaffeeherausnehmer und Kaffeenachfüller abwechseln. Wie kann man charakterisieren, ob die Kaffeemenge im Filter konvergiert?


Aufgabe

Nachdem der Kaffee am Vortag für die Befürworter eines starken Kaffees zu schwach geworden ist, entwickeln sie eine neue Strategie: Sie wollen etwas früher aufstehen, so dass am Tagesanfang und zwischen je zwei Kaffeereduzierern immer zwei Kaffeeauffüller zum Zuge kommen. Dabei bleibt die interne Reihenfolge der beiden Lager als auch die hinzuzufügende bzw. wegzunehmende Kaffeemenge einer Person unverändert. Können sie mit dieser Strategie den Kaffee stärker machen, beispielsweise bei ?


Aufgabe

Sei eine komplexe Zahl, . Beweise für die Beziehung


Aufgabe

Zwei Personen, und , sitzen in der Kneipe. will nach Hause gehen, aber will noch ein Bier trinken. „Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte“ sagt . Danach möchte immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel „allerletztes Bier“ trinken sie insgesamt?


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe *

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe *

Untersuche, ob die Reihe

konvergiert oder divergiert.


Aufgabe

Zeige, dass es für jedes eine Familie , , von positiven reellen Zahlen mit gibt.


Aufgabe

Beweise das folgende Minorantenkriterium.


Es seien und zwei Reihen von nichtnegativen reellen Zahlen. Die Reihe sei divergent und es gelte für alle .

Dann ist auch die Reihe divergent.


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Reihe mit . Zeige, dass die durch

definierte Folge eine Nullfolge ist.


Die nächste Aufgabe befasst sich mit der -adischen Entwicklung von reellen Zahlen, vergleiche Aufgabe 9.19.

Aufgabe

Es sei  , . Es sei eine Ziffernfolge

(wobei ist) gegeben und es sei

die durch diese Ziffernfolge definierte reelle Zahl. Zeige, dass die Ziffernfolge genau dann ab einer gewissen Stelle periodisch ist, wenn eine rationale Zahl ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Sei . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe


Aufgabe (3 Punkte)

Seien . Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  , . Eine Ziffernfolge, die durch

(wobei ist) gegeben ist, definiert eine reelle Reihe[1]

Zeige, dass eine solche Reihe gegen eine eindeutig bestimmte nichtnegative reelle Zahl konvergiert.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


龜-bronze.svg

Aufgabe (5 Punkte)

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ) hat einen Vorsprung gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit und dem Startpunkt ). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle . Wenn Achilles an der Stelle ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle , u.s.w.

Berechne die Folgenglieder , die zugehörigen Zeitpunkte , sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.




Fußnoten
  1. Hier läuft also der Index in die umgekehrte Richtung.


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