Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 11

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass die Multiplikation auf assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom neutrales Element der Multiplikation ist.


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.


Aufgabe *

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Aufgabe *

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe

Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?


Aufgabe *

Bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

und gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.

Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien zwei Polynome mit . Zeige, dass es ein und eine eindeutige Darstellung

mit Polynomen vom Grad gibt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge

wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.


Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen


In einer der Aufgaben wird folgender Begriff verwendet.


Eine reelle Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn es ein Polynom , , mit gibt. Andernfalls heißt sie transzendent.


Beispielsweise sind rationale Zahlen und Wurzeln aus rationalen Zahlen algebraisch, dagegen sind und transzendent (das sind schwierige Sätze).



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und der Polynomring über . Sei

Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt

  1. Entweder ist oder oder .
  2. Aus folgt .
  3. Aus folgt .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, der Polynomring und

der Körper der rationalen Funktionen über . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 11.27, dass man zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der Polynome in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der reellen transzendenten Zahlen überabzählbar ist.



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