Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 61/latex

\setcounter{section}{61}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Was ist das Volumen \zusatzklammer {der Inhalt, das Maß} {} {} eines einzelnen Punktes im $\R^0$, im $\R^1$, im $\R^2$ u.s.w.?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal C }$ das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$, das aus allen endlichen Teilmengen von $M$ und deren \definitionsverweis {Komplementen}{}{} besteht. Zeige, dass ${\mathcal C }$ eine \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} $\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der \definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B }
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Addition \zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{{\mathcal R }}{} ein \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$. Zeige, dass ${\mathcal R }$ genau dann eine \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{} ist, wenn es ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} des \definitionsverweis {Potenzmengenringes}{}{}
\mathl{( \mathfrak {P} \, (M ),\triangle, \cap)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathcal A }$ eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} auf einer Menge $M$. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \emptyset }
{ \in }{{\mathcal A } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T }
{ \in }{ {\mathcal A } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gehört auch
\mathl{T \setminus S}{} zu ${\mathcal A }$. }{Für jede \definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{}
\mathbed {T_i \in {\mathcal A }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i \in I} T_i }
{ \in} { {\mathcal A } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und sei
\mathbed {{\mathcal A }_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine beliebige \definitionsverweis {Familie}{}{} von $\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} auf $M$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal A } }
{ =} { \bigcap_{j \in J} {\mathcal A }_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls eine $\sigma$-Algebra auf $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A } )}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem
\mathdisp {N \cap T,\, T \in {\mathcal A }} { , }
eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} auf $N$ ist \zusatzklammer {man spricht von der \stichwort {induzierten} {} $\sigma$-Algebra} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M}{} eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal E } }
{ \subseteq }{ {\mathcal E }' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} seien \definitionsverweis {Mengensysteme}{}{.} Dabei sei ${\mathcal E }'$ in der von ${\mathcal E }$ \definitionsverweis {erzeugten }{}{} $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{\sigma ({\mathcal E })}{} enthalten. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma { \left( {\mathcal E } \right) } }
{ =} { \sigma { \left( {\mathcal E }' \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_k }
{ =} {{ \left\{ x \in [0,1[ \mid \text{die } k\text{-te Nachkommastelle von } x \text{ in der Dezimalentwicklung ist } 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Limes inferior}{}{} und den \definitionsverweis {Limes superior}{}{} von dieser Mengenfolge.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal A }$ ein \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$. Zeige, dass ${\mathcal A }$ genau dann ein \definitionsverweis {durchschnittsstabiles}{}{} \definitionsverweis {Dynkin-System}{}{} ist, wenn ${\mathcal A }$ eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathcal A }$ das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $\N$, das aus allen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige, dass ${\mathcal A }$ eine \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{,} aber keine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass \definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{} zwischen \definitionsverweis {Messräumen}{}{} die folgenden Eigenschaften erfüllen. \aufzaehlungvier{Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar. }{Jede konstante Abbildung ist messbar. }{Die Identität ist messbar. }{Es seien \mathkor {} {{\mathcal A }} {und} {{\mathcal B }} {} zwei $\sigma$-\definitionsverweis {Algebren }{}{} auf einer Menge $M$. Dann ist die Identität auf $M$ genau dann
\mathl{{\mathcal A }- {\mathcal B }}{-}messbar, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal A } }
{ \supseteq }{ {\mathcal B } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und es sei $\Z$ mit der ganzen \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} als $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} versehen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $T$ genau dann \definitionsverweis {messbar}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Indikatorfunktion}{}{} \maabbdisp {e_{ T }} {M} {\Z } {} \definitionsverweis {messbar}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal A }$ das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$, das aus allen \definitionsverweis {abzählbaren}{}{} Teilmengen von $M$ und deren \definitionsverweis {Komplementen}{}{} besteht. Zeige, dass ${\mathcal A }$ eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge und sei $k$ ein \definitionsverweis {Teiler}{}{} von $n$. Zeige, dass die Menge der Teilmengen von $M$, deren Elementanzahl ein \definitionsverweis {Vielfaches}{}{} von $k$ ist, ein \definitionsverweis {Dynkin-System}{}{} bilden, das bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \neq }{ 1,n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} keine \definitionsverweis {Mengen-Algebra}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {M} {N} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.}

a) Es sei ${\mathcal A }$ eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra }{}{} auf $M$. Zeige, dass das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
\mathdisp {{ \left\{ T \subseteq N \mid F^{-1}(T) \in {\mathcal A } \right\} }} { }
eine $\sigma$-Algebra auf $N$ ist.

b) Es sei ${\mathcal B }$ eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra }{}{} auf $N$. Zeige, dass das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
\mathdisp {{ \left\{ F^{-1} (T ) \mid T \in {\mathcal B } \right\} }} { }
eine $\sigma$-Algebra auf $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \biguplus_{i \in I} M_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Zerlegung}{}{} von $M$ in \definitionsverweis {abzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {messbare Teilmengen}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {M} {N } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} in einen weiteren Messraum
\mathl{(N, {\mathcal B })}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {messbar}{}{} ist, wenn sämtliche \definitionsverweis {Einschränkungen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i= \varphi {{|}} _{M_i}} {M_i} {N } {} messbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es seien
\mathl{P_1=(a_1,b_1),\, P_2=(a_2,b_2)}{} und
\mathl{P_3=(a_3,b_3)}{} drei Punkte im $\R^2$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit
\mathl{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3}{} dar.

}
{} {}