Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 62

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in ${}M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x$ und ${}y$ gibt es offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit

x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .

Aufgabe *

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum ${}Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit offenen Mengen ${}U_{i}$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {A}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

(U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})

mit offenen Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{n}$ besteht.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ${}M$ ein Mengen-Präring ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen

{\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu (T)<\infty \right\}},

einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}(X,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}\mu$ und ${}\nu$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

{}(\mu +\nu )(T):=\mu (T)+\nu (T)\,

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

{}(\mu *\nu )(T):={\max {\left(\mu (T),\nu (T)\right)}}\,

für ${}T\in {\mathcal {B}}$ definierte Abbildung ein Maß?

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ . Zeige, dass durch

{}\lambda (T):=c\mu (T)\,

ein Maß auf ${}M$ definiert ist.^[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit ${}\mu (T)=\infty$ .

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum, der als abzählbare disjunkte Vereinigung

{}M=\bigcup _{i\in I}M_{i}\,

mit ${}M_{i}\in {\mathcal {A}}$ gegeben ist. Es seien ${}\mu _{i}$ , ${}i\in I$ , Maße auf ${}(M_{i},{\mathcal {A}}{|}_{M_{i}})$ . Zeige, dass es ein eindeutiges Maß ${}\mu$ auf ${}M$ derart gibt, dass die Einschränkungen von ${}\mu$ auf die ${}(M_{i},{\mathcal {A}}{|}_{M_{i}})$ mit ${}\mu _{i}$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf ${}M$ explosiv, wenn es lediglich die Werte ${}0$ und ${}\infty$ annimmt.

a) Zeige, dass (für ${}T\in {\mathcal {A}}$ ) durch

{}\gamma (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}T=\emptyset \,,\\\infty ,{\text{ falls }}T\neq \emptyset \,,\end{cases}}\,

ein Maß definiert ist.

b) Es sei ${}\mu$ ein Maß auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ . Zeige, dass durch

{}\lambda (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\mu (T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\mu (T)>0\,,\end{cases}}\,

ebenfalls ein Maß definiert ist.

Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?

Aufgabe

Der Messraum ${}(\mathbb {N} _{+},{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} _{+}))$ sei mit dem Maß versehen, bei der die Zahl ${}n$ den Wert ${}\mu (n)={\frac {1}{n}}$ erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {N} _{+}$ den Wert ${}\mu (T)$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass

{\left\{x\in M\mid f_{n}(x){\text{ konvergiert}}\right\}}

messbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gibt, die eine Basis der Topologie bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum und es seien ${}T_{1},T_{2}\subseteq X$ zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\subseteq X$ mit ${}T_{1}\subseteq U_{1}$ , ${}T_{2}\subseteq U_{2}$ und mit ${}U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ gibt.