Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 62

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $(M, d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in $M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten $x$ und $y$ gibt es offene Mengen $U$ und $V$ mit

x \in U und y \in V und U \cap V = \emptyset .

Aufgabe *

Zeige, dass in einem Hausdorffraum $X$ jeder Punkt $x \in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum $Y \subseteq X$ mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung $U = ⋃_{i \in I} U_{i}$ mit offenen Mengen $U_{i}$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.

Aufgabe *

Es sei $(X, 𝒯)$ ein topologischer Raum und sei $𝒜$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

(U_{1} \cap A_{1}) \cup (U_{2} \cap A_{2}) \cup \dots \cup (U_{n} \cap A_{n})

mit offenen Mengen $U_{1}, \dots, U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen $A_{1}, \dots, A_{n}$ besteht.

Aufgabe

Es sei $(M, 𝒜, μ)$ ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von $M$ ein Mengen-Präring ist.

Aufgabe

Es sei $(M, 𝒜, μ)$ ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen

{T \in 𝒜 ∣ μ (T) < \infty},

einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.

Aufgabe *

Es sei $(X, ℬ)$ ein Messraum und $μ$ und $ν$ seien Maße darauf.

a) Ist die durch

(μ + ν) (T) := μ (T) + ν (T)

für $T \in ℬ$ definierte Abbildung ein Maß?

b) Ist die durch

(μ * ν) (T) := max (μ (T), ν (T))

für $T \in ℬ$ definierte Abbildung ein Maß?

Aufgabe

Es sei $(M, 𝒜, μ)$ ein Maßraum und $c \in ℝ_{\geq 0}$ . Zeige, dass durch

λ (T) := c μ (T)

ein Maß auf $M$ definiert ist.^[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit $μ (T) = \infty$ .

Aufgabe

Es sei $(M, 𝒜)$ ein Messraum, der als abzählbare disjunkte Vereinigung

M = ⋃_{i \in I} M_{i}

mit $M_{i} \in 𝒜$ gegeben ist. Es seien $μ_{i}$ , $i \in I$ , Maße auf $(M_{i}, 𝒜 |_{M_{i}})$ . Zeige, dass es ein eindeutiges Maß $μ$ auf $M$ derart gibt, dass die Einschränkungen von $μ$ auf die $(M_{i}, 𝒜 |_{M_{i}})$ mit $μ_{i}$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei $(M, 𝒜)$ ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf $M$ explosiv, wenn es lediglich die Werte $0$ und $\infty$ annimmt.

a) Zeige, dass (für $T \in 𝒜$ ) durch

γ (T) = {\begin{matrix} 0, falls T = \emptyset, \\ \infty, falls T \neq \emptyset, \end{matrix}

ein Maß definiert ist.

b) Es sei $μ$ ein Maß auf $(M, 𝒜)$ . Zeige, dass durch

λ (T) = {\begin{matrix} 0, falls μ (T) = 0, \\ \infty, falls μ (T) > 0, \end{matrix}

ebenfalls ein Maß definiert ist.

Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen $ℕ$ „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?

Aufgabe

Der Messraum $(ℕ_{+}, 𝔓 (ℕ_{+}))$ sei mit dem Maß versehen, bei dem die Zahl $n$ den Wert $μ (n) = \frac{1}{n}$ erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen $T \subseteq ℕ_{+}$ den Wert $μ (T)$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $(M, 𝒜)$ ein Messraum und sei

f_{n} : M ⟶ ℝ

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass

{x \in M ∣ f_{n} (x) konvergiert}

messbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im $ℝ^{n}$ gibt, die eine Basis der Topologie bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $X$ ein Hausdorffraum und es seien $T_{1}, T_{2} \subseteq X$ zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen $U_{1}, U_{2} \subseteq X$ mit $T_{1} \subseteq U_{1}$ , $T_{2} \subseteq U_{2}$ und mit $U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$ gibt.