Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 87/latex

\setcounter{section}{87}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Circle_on_sphere_wireframe_10deg_6r.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Circle on sphere wireframe 10deg 6r.svg } {} {Itai} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten \definitionsverweis {diffeomorph}{}{?} Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {} und $N$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.} Was kann man über das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der abgeschlossene Annulus
\mathdisp {{ \left\{ P \in \R^2 \mid 1 \leq \Vert {P} \Vert \leq 2 \right\} }} { }
und der abgeschlossene Zylinder
\mathdisp {S^1 \times [0,1]} { }
zueinander \definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Begründe, dass der $\R^2$ keine Struktur einer \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} derart trägt, dass die angegebene Teilmenge $T$ der \definitionsverweis {Rand}{}{} ist.

a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei das Intervall auf der $x$-Achse liegt.

b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei das Intervall auf der $x$-Achse liegt.

c)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $\R$ die $x$-Achse sei.

d)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ S^1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.} Unter einem \stichwort {differenzierbaren Halbweg} {} verstehen wir jede \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\gamma} {[0, \epsilon [ } {M } {} oder \maabbdisp {\gamma} {] -\epsilon, 0]} {M } {} \zusatzklammer {mit \mathlk{\epsilon >0}{.} Sie heißen nach innen bzw. nach außen gerichtet} {} {.} Definiere, wann zwei Halbwege mit
\mathl{\gamma_1(0) = \gamma_2(0) =P \in M}{} \stichwort {tangential äquivalent} {} sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, und dass die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} ein reeller Vektorraum ist, der der \stichwort {Tangentialraum} {} in $P$ heißt. Charakterisiere die Äquivalenzklassen, die sowohl nach innen als auch nach außen repräsentierbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} und es sei \maabbdisp {\gamma} {{]{-\epsilon}, \epsilon[}} {M } {} ein \definitionsverweis {differenzierbarer Weg}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\gamma (0) }
{ =} {P }
{ \in} {\partial M }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mathl{\gamma'(0) \in T_P \partial M}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.} Zeige, dass jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit \zusatzklammer {eventuell leerem} {} {} Rand ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial N }
{ =} { \partial M \cap N }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {euklidischer Halbraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gebe eine in $\R^n$ offene Menge $V$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ V }
{ \subseteq }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{P}{} kein Randpunkt von $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{U_1 \subseteq H_1 \subset \R^n}{} und
\mathl{U_2 \subseteq H_2 \subset \R^n}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} in \definitionsverweis {euklidischen Halbräumen}{}{} \mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {} und es sei \maabbdisp {\varphi} {U_1} {U_2 } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{.} Zeige, dass es zu jedem Punkt
\mathl{P\in U_1}{} offene Umgebungen
\mathl{P\in V_1 \subset \R^n}{} und
\mathl{\varphi(P) \in V_2 \subset \R^n}{} und eine diffeomorphe Fortsetzung \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {V_1} {V_2 } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die abgeschlossene Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die \definitionsverweis {Standardorientierung}{}{} des $\R^2$. Läuft die durch die \definitionsverweis {äußere Normale}{}{} festgelegte Orientierung auf dem Rand \zusatzklammer {also auf dem Einheitskreis} {} {} mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Not-star-shaped.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Not-star-shaped.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe für den Kreisring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ x \in \R^2 \mid 1 \leq \Vert {x} \Vert \leq 2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} explizit \definitionsverweis {Karten}{}{} an, die zeigen, dass $M$ eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Halbebene}{}{} $\R_{\geq 0} \times \R$ und der \definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{} nicht \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?)} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{M= B \left( 0,1 \right) \setminus \{ (0,1), (0,-1)\} \subseteq \R^2}{,} also die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{,} aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei
\mathl{N={]{-1},1[} \times [-1,1]}{} das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V_1} {V_2 } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,} der eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} zwischen \mathkor {} {V_1 \cap H} {und} {V_2 \cap H} {} induziert und damit auch zwischen \mathkor {} {V_1 \cap \partial H} {und} {V_2 \cap \partial H} {} \zusatzklammer {$H$ bezeichnet den \definitionsverweis {Halbraum}{}{} und $\partial H$ seinen Rand} {} {.} Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Die abgeschlossene Einheitskugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die \definitionsverweis {Standardorientierung}{}{} des $\R^3$. Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren \mathkor {} {(2,1,0)} {und} {(3,-1,0)} {} am Nordpol
\mathl{(0,0,1)}{} die durch die \definitionsverweis {äußere Normale}{}{} induzierte Orientierung auf dem Rand \zusatzklammer {also auf der Einheitssphäre} {} {} repräsentieren oder nicht?

}
{} {}