Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 86

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der -Differentialform

auf dem .


Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der -Differentialform

auf dem .


Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf .


Aufgabe *

Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf dem .


Aufgabe *

Es sei

die durch

a) Berechne die äußere Ableitung von .

b) Berechne die äußere Ableitung von .


Aufgabe

Bestimme die äußere Ableitung der -Differentialform

auf dem .


Aufgabe *

Zeige, dass die Differentialform

auf dem geschlossen und auch exakt ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit und eine auf der Mannigfaltigkeit definierte differenzierbare Abbildung.

a) Es sei geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform geschlossen ist.


a) Es sei exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform exakt ist.


Aufgabe

Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare -Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt.


Aufgabe

Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare -Form auf mit dem gemäß Lemma 84.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn ein Gradientenfeld ist.


Für die folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 58.7 und Beispiel 58.8.

Aufgabe

Zeige, dass die -Differentialform

auf dem nicht geschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die -Differentialform

auf dem geschlossen, aber nicht exakt ist.


Aufgabe *

Zeige, dass jede stetige -Differentialform auf einer offenen Menge exakt ist.


Aufgabe

Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare -Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

das Wegintegral nur von und abhängt.


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine differenzierbare -Form auf , wobei die Dimension von sei. Zeige, dass eine geschlossene Differentialform auf ist.


Aufgabe

Welche der folgenden Funktionen

lassen sich differenzierbar in den Randpunkt fortsetzen.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .


Aufgabe

Es sei ein Halbraum. Es sei ein Punkt und , wobei eine offene Teilmenge des sei. Zeige, dass kein Randpunkt von ist.


Aufgabe

Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der -Differentialform

auf dem .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der -Differentialform

auf dem .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei offen und es seien Differentialformen auf , wobei eine -Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Differentialform

auf dem geschlossen und auch exakt ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Halbebene und der Quadrant homöomorph sind.



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