Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die Multiplikation auf
\mathl{K[X]}{} assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das
\zusatzklammer {konstante} {} {}
Polynom $1$ neutrales Element der Multiplikation ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
$2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P+Q)(a)
}
{ =} { P(a)+Q(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a)
}
{ =} { P(a) \cdot Q(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 (a)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ gilt: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beide ungleich $0$ sind, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ PQ
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung \zusatzklammer {also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres} {} {} von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das reelle Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x^2- { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\aufzaehlungdrei{Skizziere $\betrag { f(x) }$ auf dem Intervall
\mathl{[-1, 1]}{.}
}{Zeige, dass $f$ die Eigenschaft besitzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\max { \left( \betrag { f(x) } , -1 \leq x \leq 1 \right) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}{Zeige, dass es außer $f$ kein weiteres normiertes reelles Polynom vom Grad $2$ gibt, das die in Teil (2) beschriebene Eigenschaft erfüllt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3+2X^2-3X+4} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ X+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {Z^3-(2+ { \mathrm i})Z^2 +3{ \mathrm i}Z+4- 5{ \mathrm i}} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ Z+ 2- { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{}
Koeffizienten und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
von $P$. Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {konjugiert-komplexe Zahl}{}{}
$\overline{ z }$ eine Nullstelle von $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
eine Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_j
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $S,Q \in K[X]$ zwei Polynome mit $\operatorname{grad} \, (Q) \geq 1$. Zeige, dass es ein
\mathl{n \in \N}{} und eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { R_0 + R_1Q +R_2Q^2 + \cdots + R_n Q^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Polynomen $R_j$ vom Grad $< \operatorname{grad} \, (Q)$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2+dX^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ r
}
{ < }{ d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { dq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem Körper
\mathl{K}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ { \frac{ P }{ Q } } \mid P,Q \in K[X] , \, Q \neq 0 \right\} }} { , }
wobei zwei Brüche
\mathl{{ \frac{ P }{ Q } }}{} und
\mathl{{ \frac{ P' }{ Q' } }}{} genau dann als gleich gelten, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P Q'
}
{ = }{ P' Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in
\mathl{\Q(X)}{} die folgenden Ausdrücke.
\aufzaehlungdrei{Das Produkt
\mathdisp {{ \frac{ 2X^3-5X^2+X-1 }{ X^2-2X+6 } } \cdot { \frac{ X^2+3 }{ 5X^3-4X^2-7 } }} { . }
}{Die Summe
\mathdisp {{ \frac{ 4X^3-X^2+6X-2 }{ X^2-4X-3 } } + { \frac{ X^2-3 }{ 3X^2 +5 } }} { . }
}{Das Inverse von
\mathdisp {{ \frac{ 6X^3-9X^2+5X-1 }{ X^4-4X^3+3X^2-8X-3 } }} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} \maabbdisp {f=g/h} {U} {\R } {,} wobei $U$ jeweils das \definitionsverweis {Komplement}{}{} der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms $h$ sei. \aufzaehlungsieben{$1/x$, }{$1/x^2$, }{$1/(x^2+1)$, }{$x/(x^2+1)$, }{$x^2/(x^2+1)$, }{$x^3/(x^2+1)$, }{$(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} wieder rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {f \circ g} {und} {g \circ f} {}
der beiden
\definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {f(x)= { \frac{ 2x^2-4x+3 }{ x-2 } } \text{ und } g(x)= { \frac{ x+1 }{ x^2-4 } }} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1
}
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $u$ ungerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
$f$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} für welches
\mathdisp {f(0)=-1,\, f(-1) =-3,\, f(1) = 7,\, f(2) = 21} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid \text{Der Leitkoeffizient von } F \text{ ist positiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt
\aufzaehlungdrei{Entweder ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -F
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F+G
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G
}
{ \in }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F \cdot G
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} $K[X]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
und
\mathdisp {Q=K(X)} { }
der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Zeige unter Verwendung von
Aufgabe 11.33,
dass man $Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der
\betonung{nicht}{}
\definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{}
ist.
}
{} {}
In einer der Aufgaben wird folgender Begriff verwendet.
Eine reelle Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn es ein Polynom $P \in \Q[X]$, $P \neq 0$, mit $P(z) = 0$ gibt. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}
Beispielsweise sind rationale Zahlen und Wurzeln aus rationalen Zahlen algebraisch, dagegen sind $e$ und $\pi$ transzendent
\zusatzklammer {das sind schwierige Sätze} {} {.}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Polynome}{}{} in einer Variablen mit \definitionsverweis {rationalen Koeffizienten}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Menge der reellen transzendenten Zahlen überabzählbar ist.
}
{} {}