Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 11

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

$((4+{\mathrm {i} })X^{2}-3X+9{\mathrm {i} })\cdot ((-3+7{\mathrm {i} })X^{2}+(2+2{\mathrm {i} })X-1+6{\mathrm {i} }).$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}K[X]$ assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das (konstante) Polynom ${}1$ neutrales Element der Multiplikation ist.

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^{3}-5X^{2}-4X+7$

die Variable ${}X$ durch die komplexe Zahl ${}2-5{\mathrm {i} }$ ersetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$.
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$.
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper ${}K$ gilt: Wenn ${}P,Q\in K[X]$ beide ungleich ${}0$ sind, so ist auch ${}PQ\neq 0$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe *

Es seien die beiden komplexen Polynome

$P=X^{3}-2{\mathrm {i} }X^{2}+4X-1\,\,{\text{ und }}\,\,Q={\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }$

gegeben. Berechne ${}P(Q)$ (es soll also ${}Q$ in ${}P$ eingesetzt werden).

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.

Aufgabe *

Wir betrachten das reelle Polynom

${}f(x)=x^{2}-{\frac {1}{2}}\,$

1. Skizziere ${}\vert {f(x)}\vert$ auf dem Intervall ${}[-1,1]$.
2. Zeige, dass ${}f$ die Eigenschaft besitzt, dass

   ${}{\max {\left(\vert {f(x)}\vert ,-1\leq x\leq 1\right)}}={\frac {1}{2}}\,$

   ist.

3. Zeige, dass es außer ${}f$ kein weiteres normiertes reelles Polynom vom Grad ${}2$ gibt, das die in Teil (2) beschriebene Eigenschaft erfüllt.

Aufgabe *

Es seien

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

${}{\left(h\cdot g\right)}\circ f={\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\,.$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

${}{\left(h\circ g\right)}\cdot f={\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}\,$

nicht gelten muss.

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$X^{3}+2X^{2}-3X+4$

in der neuen Variablen ${}U=X+2$.

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$Z^{3}-(2+{\mathrm {i} })Z^{2}+3{\mathrm {i} }Z+4-5{\mathrm {i} }$

in der neuen Variablen ${}W=Z+2-{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=3X^{4}+7X^{2}-2X+5$ und ${}T=2X^{2}+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom ${}P$ durch ${}X^{m}$ teilt?

Aufgabe *

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^{3}-1$

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in ${}\mathbb {R} [X]$ und in ${}{\mathbb {C} }[X]$ an.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine Nullstelle von ${}P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}$ eine Nullstelle von ${}P$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass jedes Polynom ${}P\in K[X],\,P\neq 0,$ eine Produktzerlegung

$P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}S,Q\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}\operatorname {grad} \,(Q)\geq 1$. Zeige, dass es ein ${}n\in \mathbb {N}$ und eine eindeutige Darstellung

${}S=R_{0}+R_{1}Q+R_{2}Q^{2}+\cdots +R_{n}Q^{n}\,$

mit Polynomen ${}R_{j}$ vom Grad ${}<\operatorname {grad} \,(Q)$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$

Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K[X]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die Menge

${\left\{{\frac {P}{Q}}\mid P,Q\in K[X],\,Q\neq 0\right\}},$

wobei zwei Brüche ${}{\frac {P}{Q}}$ und ${}{\frac {P'}{Q'}}$ genau dann als gleich gelten, wenn ${}PQ'=P'Q$ ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {Q} (X)$ die folgenden Ausdrücke.

1. Das Produkt

   ${\frac {2X^{3}-5X^{2}+X-1}{X^{2}-2X+6}}\cdot {\frac {X^{2}+3}{5X^{3}-4X^{2}-7}}.$

2. Die Summe

   ${\frac {4X^{3}-X^{2}+6X-2}{X^{2}-4X-3}}+{\frac {X^{2}-3}{3X^{2}+5}}.$

3. Das Inverse von

   ${\frac {6X^{3}-9X^{2}+5X-1}{X^{4}-4X^{3}+3X^{2}-8X-3}}.$

Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

$f=g/h\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}U$ jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms ${}h$ sei.

1. ${}1/x$,
2. ${}1/x^{2}$,
3. ${}1/(x^{2}+1)$,
4. ${}x/(x^{2}+1)$,
5. ${}x^{2}/(x^{2}+1)$,
6. ${}x^{3}/(x^{2}+1)$,
7. ${}(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)={\frac {2x^{2}-4x+3}{x-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,g(x)={\frac {x+1}{x^{2}-4}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$ das Produkt

${\left((4+{\mathrm {i} })X^{3}-{\mathrm {i} }X^{2}+2X+3+2{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left((2-{\mathrm {i} })X^{3}+(3-5{\mathrm {i} })X^{2}+(2+{\mathrm {i} })X+1+5{\mathrm {i} }\right)}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=(5+{\mathrm {i} })X^{4}+{\mathrm {i} }X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-1$ und ${}T=X^{2}+{\mathrm {i} }X+3-{\mathrm {i} }$ durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^{2}-X+1\right)}\,$

für ${}u$ ungerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 3$, für welches

$f(0)=-1,\,f(-1)=-3,\,f(1)=7,\,f(2)=21$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}R=K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Sei

${}P={\left\{F\in K[X]\mid {\text{Der Leitkoeffizient von }}F{\text{ ist positiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt

1. Entweder ist ${}F\in P$ oder ${}-F\in P$ oder ${}F=0$.
2. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F+G\in P$.
3. Aus ${}F,G\in P$ folgt ${}F\cdot G\in P$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und

$Q=K(X)$

der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 11.33, dass man ${}Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.

In einer der Aufgaben wird folgender Begriff verwendet.

Eine reelle Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn es ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(z)=0$ gibt. Andernfalls heißt sie transzendent.

Beispielsweise sind rationale Zahlen und Wurzeln aus rationalen Zahlen algebraisch, dagegen sind ${}e$ und ${}\pi$ transzendent (das sind schwierige Sätze).

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der Polynome in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der reellen transzendenten Zahlen überabzählbar ist.