Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-3x +1
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3+4x^2-x +3
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[-5,-4]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gegeben sei die \definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabb {f} {\R\setminus{ \{0,1\} }} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {\frac{1}{x^3}+\frac{1}{(x-1)^3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass $f$ jeden Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an mindestens zwei Stellen annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein reelles Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {,} eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei $x$ \anfuehrung{nahe}{} an einer Nullstelle von $f$. Ist dann
\mathl{f(x)}{} nahe bei $0$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Fridolin sagt:
\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { { \frac{ 1 }{ x } }
} {,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{}
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Es gibt ein Polynom
\mathbed {P \in \R[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein Polynom
\mathbed {Q \in \Q[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein normiertes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Skizziere die Graphen der Funktionen \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} {x-1 } {,} und \maabbeledisp {g} {\R_+} { \R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} } {Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}} { }
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} nicht offen sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ \betrag { x } +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung
\maabbdisp {f} {\R} {{]{-1},1[}
} {}
gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$ maximal $d$
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es gebe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ \geq} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $a$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei rekursiv durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { \sqrt{ x_n+1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme direkt, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Potenzfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
im Nullpunkt besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines beschränkten
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
derart, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {reellen Intervall}{}{.}
Die Funktion habe in den Punkten
\mathbed {x_1,x_2 \in I} {}
{x_1 < x_2} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {lokale Maxima}{}{.}
Zeige, dass die Funktion zwischen
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
mindestens ein
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {[0,1[ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b]
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
des
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme das Minimum der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2+3x-5 } {.}
}
{} {(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)}
\inputaufgabe
{7}
{
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
\definitionsverweis {wachsenden Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\Q)
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\leq 0})
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\geq 1})
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
ist.
}
{} {}