Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f:\mathbb{Q}⟶ℝ,$

die genau zwei Werte annimmt.

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ$

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ konstant ist.

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?

Aufgabe

Finde für die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^2+x-1,$

eine Nullstelle im Intervall $[0,1]$ mithilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^3-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall $[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge $1/8$, in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^3+4x^2-x+3.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall $[-5,-4]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge $1/8$, in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

Aufgabe

Gegeben sei die Abbildung $f:ℝ\setminus \{0,1\}\to ℝ$ mit

$f(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{(x-1{)}^3}.$

Zeige mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass $f$ jeden Wert  $c\ne 0$  an mindestens zwei Stellen annimmt.

Aufgabe

Es sei $I$ ein reelles Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion und es sei $x$ „nahe“ an einer Nullstelle von $f$. Ist dann $f(x)$ nahe bei $0$?

Aufgabe *

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼\frac{1}{x},$

gilt  $f(-1)=-1$  und  $f(1)=1$.  Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl  $x\in [-1,1]$  mit  $f(x)=0$.  Es ist doch aber stets  $\frac{1}{x}\ne 0$.  “

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Aufgabe *

Es sei  $z\in ℝ$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom $P\in ℝ[X]$, $P\ne 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit  $P(z)=0$. 
2. Es gibt ein Polynom $Q\in \mathbb{Q}[X]$, $Q\ne 0$, mit  $Q(z)=0$. 
3. Es gibt ein normiertes Polynom  $R\in \mathbb{Q}[X]$  mit  $R(z)=0$. 

Aufgabe *

Es seien

$f,g:[a,b]⟶ℝ$

stetige Funktionen mit  $f(a)\ge g(a)$  und  $f(b)\le g(b)$.  Zeige, dass es einen Punkt  $c\in [a,b]$  mit  $f(c)=g(c)$  gibt.

Aufgabe *

1. Skizziere die Graphen der Funktionen

   $f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼x-1,$

   und

   $g:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼\frac{1}{x},$

2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Aufgabe

Zeige, dass die durch

$f(x)=\{\begin{array}{c}\sin \frac{1}{x}\text{ für }x\ne 0,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

definierte Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.

Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass durch

$f(x)=\frac{x}{|x|+1}$

eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung

$f:ℝ⟶]-1,1[$

gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.

Es sei $M$ eine Menge und

$f:M⟶M$

eine Abbildung. Ein Element  $x\in M$  mit  $f(x)=x$  heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^2.$

Aufgabe

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein Polynom vom Grad  $d\ge 1$,   $P\ne X$.  Zeige, dass $P$ maximal $d$ Fixpunkte besitzt.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion und es gebe  $x,y\in ℝ$  mit

$f(x)\le x$

und

$f(y)\ge y.$

Zeige, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl  $a\in ℝ$  eine stetige Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

derart gibt, dass $a$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl  $x\in ℝ$  eine stetige Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch $f(q)$ rational ist.

Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl  $x\in ℝ$  eine streng wachsende stetige Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch $f(q)$ rational ist.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_n=\sqrt{\frac{7n^2-4}{3n^2-5n+2}},n\in \mathbb{N}.$

Aufgabe

Die Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ sei rekursiv durch  $x_0=1$  und

$x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}$

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Aufgabe

Bestimme direkt, für welche  $n\in \mathbb{N}$  die Potenzfunktionen

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^n,$

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls  $I\subseteq ℝ$  und einer stetigen Funktion

$f:I⟶ℝ$

derart, dass das Bild von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.

Aufgabe

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten $x_1,x_2\in I$, $x_1<x_2$, lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen $x_1$ und $x_2$ mindestens ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe

Es sei

$f:[0,1]⟶[0,1[$

eine stetige Funktion. Zeige, dass $f$ nicht surjektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Finde für die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^3-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall $[0,1]$ mithilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass das Bild von $f$ sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass $f$ surjektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f:[a,b]⟶[a,b]$

eine stetige Funktion des Intervalls $[a,b]$ in sich. Zeige, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_n=\sqrt[3]{\frac{27n^3+13n^2+n}{8n^3-7n+10}},n\in \mathbb{N}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^2+3x-5.$

(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen wachsenden Funktionen

$f:ℝ⟶ℝ$

mit  $f(\mathbb{Q})\subseteq \mathbb{Q}$,  mit  $f({ℝ}_{\le 0})=0$  und  $f({ℝ}_{\ge 1})=1$  überabzählbar ist.