Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 13
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe *
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?
Aufgabe
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
Aufgabe *
Wir betrachten die Funktion
Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.
Aufgabe
Wir betrachten die Funktion
Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.
Aufgabe
Gegeben sei die Abbildung mit
Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jeden Wert an mindestens zwei Stellen annimmt.
Aufgabe
Es sei ein reelles Intervall und
eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.
Aufgabe
Es sei eine stetige Funktion und es sei „nahe“ an einer Nullstelle von . Ist dann nahe bei ?
Aufgabe *
Fridolin sagt:
„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
Aufgabe *
Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
- Es gibt ein Polynom , , mit .
- Es gibt ein normiertes Polynom mit .
Aufgabe *
Aufgabe *
- Skizziere die Graphen der Funktionen
und
- Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.
Aufgabe
Zeige, dass die durch
definierte Funktion
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
Aufgabe
Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
Aufgabe
Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.
Aufgabe
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
Aufgabe
Zeige, dass durch
eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung
gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein Polynom vom Grad , . Zeige, dass maximal Fixpunkte besitzt.
Aufgabe
Aufgabe
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion
derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist.
Aufgabe
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion
derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.
Aufgabe
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine streng wachsende stetige Funktion
derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.
Aufgabe
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe
Die Folge sei rekursiv durch und
definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
Aufgabe
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion
derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.
Aufgabe
Es sei
eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.
Aufgabe
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Finde für die Funktion
eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass das Bild von sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass surjektiv ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den Grenzwert der Folge
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme das Minimum der Funktion
(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)
Aufgabe (7 Punkte)
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