Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} des \definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{} von zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die ersten fünf Glieder des
\definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {konvergenten Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } } \text{ und } \sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^3 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \text{ und } \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
zwei
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {,}
{\betrag { z } <1} {}
{} {} {} {.}
Bestimme
\zusatzklammer {in Abhängigkeit von $z$} {} {}
die
\definitionsverweis {Summen}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0 }^\infty z^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty z^{2k+1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}
Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4$ in der dritten
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }
}
{ =} {{ \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
nennen wir die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty d_{ k } \text{ mit } d_k = \sum_{ j = 0 }^{ k } a_k b_{j} + \sum_{i = 0}^{k-1} a_ib_k} { }
das \anfuehrung{Quadratrandprodukt}{} der beiden Reihen.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass jedes Produkt
\mathl{a_ib_j}{} genau zu einem $d_k$ beiträgt.
}{Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe
\mathl{\sum_{k = 0}^\infty d_k}{} konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.
}{
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} definierte reelle Funktion \maabbeledisp {\exp} {\R} {\R } {x} { \exp x } {,} nicht \definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{} ist und dass $0$ das \definitionsverweis {Infimum}{}{} \zusatzklammer {aber nicht das \definitionsverweis {Minimum}{}{}} {} {} der \definitionsverweis {Bildmenge}{}{} ist.\zusatzfussnote {Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass $\R_+$ das \definitionsverweis {Bild}{}{} der reellen Exponentialfunktion ist} {.} {}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die durch die Reihenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \defeq} { c_{2n} + c_{2n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der \definitionsverweis {Produktreihe}{}{} $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ aus der \definitionsverweis {Sinusreihe}{}{} und der \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { \sin z } {,} nur reelle Nullstellen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { \cos z } {,} nur reelle Nullstellen besitzt.
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer \stichwort {periodischen Funktion} {.}
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {} heißt \definitionswort {periodisch}{} mit \definitionswort {Periode}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { f(x+L)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} und \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} eine beliebige Funktion.
a) Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} wieder periodisch ist.
b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
\mathl{f \circ g}{} nicht periodisch sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f_1,f_2} {\R} {\R
} {}
\definitionsverweis {periodische Funktionen}{}{}
mit den Periodenlängen
\mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {.}
Der Quotient
\mathl{L_1/L_2}{} sei eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{f_1+f_2}{} eine periodische Funktion ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}
Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4,z^5$ in der vierten
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }
}
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } \right) }^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Für $N \in \N$ und $z \in {\mathbb C}$ sei
\mathdisp {R_{N+1} (z) = \exp z - \sum_{n=0}^N \frac{ z^n}{n!} = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{ z^n}{n!}} { }
das \stichwort {Restglied} {} der
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{.}
Zeige, dass für $\betrag { z } \leq 1 + \frac{1}{2}N$ die \stichwort {Rest\-gliedabschätzung} {}
\mathdisp {\betrag { R_{N+1}(z) } \leq \frac{2}{(N+1)!} \betrag { z } ^{N+1}} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von
\mathdisp {\exp 1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die durch die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
definierte
\definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{ \exp n }{n^d} \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist\zusatzfussnote {Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion \stichwort {schneller wächst} {} als jede Polynomfunktion} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise das
Additionstheorem
für den
\definitionsverweis {Sinus}{}{,}
also die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (z+w)
}
{ =} { \sin z \, \cos w + \cos z \, \sin w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{} ist.
}
{} {}