Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\text{ und }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}.$

Aufgabe *

Es seien

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\text{ und }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{z}^n$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in  $z\in ℂ$.  Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n\text{ mit }{c}_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei $z\in ℂ$ , $|z|<1$. Bestimme (in Abhängigkeit von $z$) die Summen der beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{2k}\text{ und }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{2k+1}.$

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4$ in der dritten Potenz

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\right)}^3.$

Aufgabe *

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Aufgabe *

Zu Reihen $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ und $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_k\text{ mit }{d}_k=\sum _{j=0}^k{a}_k{b}_j+\sum _{i=0}^{k-1}{a}_i{b}_k$

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

a) Zeige, dass jedes Produkt $a_i{b}_j$ genau zu einem $d_k$ beiträgt.

b) Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_k$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

$\exp :ℝ⟶ℝ,x⟼\exp x,$

nicht nach oben beschränkt ist und dass $0$ das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.

Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ eine konvergente Reihe mit  $c_k\in ℂ$.  Zeige, dass die durch die Reihenglieder

$a_n:=c_{2n}+c_{2n+1}$

definierte Reihe ebenfalls und zwar gegen die gleiche Summe konvergiert.

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der Produktreihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.

Aufgabe *

Zeige, dass die Sinusfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\sin z,$

nur reelle Nullstellen besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Kosinusfunktion

$ℂ⟶ℂ,z⟼\cos z,$

nur reelle Nullstellen besitzt.

Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer periodischen Funktion.

Eine Funktion $f:ℝ\to ℝ$ heißt periodisch mit Periode  $L>0$,  wenn für alle  $x\in ℝ$  die Gleichheit

$f(x)=f(x+L)$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ$

eine periodische Funktion und

$g:ℝ⟶ℝ$

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $f\circ g$ nicht periodisch sein muss.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass $f$ beschränkt ist.

Aufgabe *

Es seien

$f_1,f_2:ℝ⟶ℝ$

periodische Funktionen mit den Periodenlängen $L_1$ bzw. $L_2$. Der Quotient $L_1/L_2$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch $f_1+f_2$ eine periodische Funktion ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $z^0,z^1,z^2,z^3,z^4,z^5$ in der vierten Potenz

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\right)}^4.$

Aufgabe (4 Punkte)

Für  $N\in \mathbb{N}$  und  $z\in ℂ$  sei

$R_{N+1}(z)=\exp z-\sum _{n=0}^N\frac{z^n}{n!}=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für  $|z|\le 1+\frac{1}{2}N$  die Restgliedabschätzung

$|R_{N+1}(z)|\le \frac{2}{(N+1)!}|z{|}^{N+1}$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von

$\exp 1.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes  $d\in \mathbb{N}$  die Folge

${\left(\frac{\exp n}{n^d}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

bestimmt divergent gegen $+\mathrm{\infty }$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit

$\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w$

für  $z,w\in ℂ$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige periodische Funktion. Zeige, dass $f$ gleichmäßig stetig ist.

Fußnoten