Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^4-2x^3+2x^2-3x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { z^3 +3z^2-7z-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der neuen Variablen
\mathl{z-2}{}
\zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {}
auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = { \frac{ z^2 -z +3 }{ z } } } {,} im Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vom Grad $3$ der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 3x^2- 2x+5 }{ x-2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{{ \frac{ x }{ x^2+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { { \left( \sin z \right) } { \left( \cos z \right) } } {,} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x \cdot \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.
b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen \mathkor {} {-2 \pi} {und} {2 \pi} {.}
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { e^{x^2} -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $\pi/2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine im Punkt $a$ $n$-fach
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktion. Zeige, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
zu $f$ im Punkt $a$, geschrieben in der verschobenen Variablen $x-a$, gleich dem $n$-ten Taylor-Polynom der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ = }{ f(x+a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt
\zusatzklammer {geschrieben in der Variablen $x$} {} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine Funktion. Vergleiche die \definitionsverweis {polynomiale Interpolation}{}{} zu $n+1$ gegebenen Punkten und die \definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{} vom Grad $n$ zu einem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} das $n$-te \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} von $f$ im Entwicklungspunkt $b$ nicht aus dem $n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt $a$ bestimmen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabb {f,g} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
Polynome $n$-ten Grades und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_k
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_1 , \ldots , n_k
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
natürliche Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^k n_j
}
{ >} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Ableitungen von
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
in den Punkten $a_j$ sollen bis einschließlich zur $(n_j-1)$-ten Ableitung übereinstimmen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {Man mache sich zuerst die Aussage bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{k
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n_1
}
{ = }{n+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{k
}
{ = }{n+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n_j
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ klar.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq }{ { \frac{ x^2-x+5 }{ x^2+3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass man mit Hilfe von
Beispiel 22.5
und drei Summanden
\zusatzklammer {also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf dem Intervall
\mathl{[- { \frac{ 5 }{ 3 } }, { \frac{ 5 }{ 3 } } ]}{} eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler $\leq { \frac{ 1 }{ 9 } }$ enthält.
}{Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ >} { { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ <} { { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
ist?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die erste Nachkommastelle von $\pi/2$ mit Hilfe von Beispiel 22.5.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
der
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
für einen beliebigen Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ \R[Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\maabbeledisp {g} { \R_+} {\R
} {x} { g(x) = p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$g'(x)$ ebenfalls von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ =} {q { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $n$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f^{(n)}}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \in \R_+ , \, x \rightarrow 0 } \, f^{(n)}(x)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Wendepunkt}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { \R_+ } { \R } { x } { e^{- { \frac{ 1 }{ x } } } } {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^{n-1} e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} j k }{ n } } }
}
{ =} { \begin{cases} n, \text{ falls } j \text{ ein Vielfaches von } n \text{ ist}, \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin \left( \cos z \right) + z^3 \exp \left( z^2 \right) } {,} im Entwicklungspunkt $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} {z^3+(4- { \mathrm i} )z^2-2{ \mathrm i}z+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
in der neuen Variablen
\mathl{z-1-{ \mathrm i}}{}
\zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {}
auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $1+{ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,2 \pi]} {\R } {x} {f(x) = { \left( \sin x \right) } { \left( \cos x \right) } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die ersten drei Nachkommastellen von $\pi/2$ mit Hilfe von Beispiel 22.5.
}
{(Ganzzahlige Rechnungen gerne mit Taschenrechner ausführen.)} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Sei
\mathbed {\epsilon} {}
{0 < \epsilon \leq { \frac{ 1 }{ 3 } }} {}
{} {} {} {,} vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
gibt mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 0 \text{ für } x \leq 0 \, , \\ 1 \text{ für } x \geq \epsilon \text{ und } x \leq 1 - \epsilon \, , \\ 0 \text{ für } x \geq 1 \, .\end{cases}} { }
}
{} {}