Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

${}f(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-3x+5\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=3$.

Aufgabe

Bestimme das Polynom

${}f(z)=z^{3}+3z^{2}-7z-4\,$

in der neuen Variablen ${}z-2$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}2$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ im Entwicklungspunkt ${}a=2$ der Ordnung ${}4$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z)={\frac {z^{2}-z+3}{z}},$

im Entwicklungspunkt ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}3$ der rationalen Funktion

${}f(x)={\frac {3x^{2}-2x+5}{x-2}}\,$

im Entwicklungspunkt ${}0$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion ${}f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ im Entwicklungspunkt ${}a=3$.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}4$ der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\left(\sin z\right)}{\left(\cos z\right)},$

im Nullpunkt.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ zur Funktion

${}f(x)=x\cdot \sin x\,$

im Entwicklungspunkt ${}a={\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)={\frac {1}{\sin x}}\,$

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von ${}f$.

b) Skizziere ${}f$ für ${}x$ zwischen ${}-2\pi$ und ${}2\pi$.

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von ${}f$.

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ von ${}f$ im Punkt ${}{\frac {\pi }{2}}$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=e^{x^{2}}-x\,$

im Entwicklungspunkt ${}a=1$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung ${}4$ zur Funktion

${}f(x)=\sin x\,$

im Entwicklungspunkt ${}\pi /2$.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}a$ ${}n$-fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das ${}n$-te Taylor-Polynom zu ${}f$ im Punkt ${}a$, geschrieben in der verschobenen Variablen ${}x-a$, gleich dem ${}n$-ten Taylor-Polynom der Funktion ${}g(x)=f(x+a)$ im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen ${}x$) ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu ${}n+1$ gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad ${}n$ zu einem Punkt.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ das ${}n$-te Taylor-Polynom von ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}b$ nicht aus dem ${}n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt ${}a$ bestimmen kann.

Aufgabe

Es seien ${}f,g\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ Polynome ${}n$-ten Grades und es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in {\mathbb {C} }$ Punkte und ${}n_{1},\ldots ,n_{k}\geq 1$ natürliche Zahlen mit

${}\sum _{j=1}^{k}n_{j}>n\,.$

Die Ableitungen von ${}f$ und ${}g$ in den Punkten ${}a_{j}$ sollen bis einschließlich zur ${}(n_{j}-1)$-ten Ableitung übereinstimmen. Zeige ${}f=g$.

Man mache sich zuerst die Aussage bei ${}k=1$ und ${}n_{1}=n+1$ und bei ${}k=n+1$ und ${}n_{j}=1$ für alle ${}j$ klar.

Aufgabe

Es sei ${}f(x):={\frac {x^{2}-x+5}{x^{2}+3}}$. Bestimme ein Polynom ${}h$ vom Grad ${}\leq 3$, das in den beiden Punkten ${}x=0$ und ${}x=1$ die gleichen linearen Approximationen wie ${}f$ besitzt.

Aufgabe *

1. Zeige, dass man mit Hilfe von Beispiel 22.5 und drei Summanden (also ${}m=2$) auf dem Intervall ${}[-{\frac {5}{3}},{\frac {5}{3}}]$ eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler ${}\leq {\frac {1}{9}}$ enthält.
2. Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass

   ${}{\frac {\pi }{2}}>{\frac {4}{3}}\,$

   gilt.

3. Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass

   ${}{\frac {\pi }{2}}<{\frac {5}{3}}\,.$

   ist?

Aufgabe

Bestimme die erste Nachkommastelle von ${}\pi /2$ mit Hilfe von Beispiel 22.5.

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}p\in \mathbb {R} [Y]$ ein Polynom und

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass die Ableitung ${}g'(x)$ ebenfalls von der Form

${}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,$

mit einem weiteren Polynom ${}q$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ die Eigenschaft

${}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,$

besitzt.

Aufgabe

Bestimme den Wendepunkt der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}j\in \mathbb {Z}$. Zeige

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }jk}{n}}={\begin{cases}n,{\text{ falls }}j{\text{ ein Vielfaches von }}n{\text{ ist}},\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung ${}4$ der Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin \left(\cos z\right)+z^{3}\exp \left(z^{2}\right),$

im Entwicklungspunkt ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Polynom

${}f(z)=z^{3}+(4-{\mathrm {i} })z^{2}-2{\mathrm {i} }z+5\,.$

in der neuen Variablen ${}z-1-{\mathrm {i} }$ (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}1+{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

$f\colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\left(\sin x\right)}{\left(\cos x\right)},$

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Nachkommastellen von ${}\pi /2$ mit Hilfe von Beispiel 22.5.

(Ganzzahlige Rechnungen gerne mit Taschenrechner ausführen.)

Aufgabe (6 Punkte)

Sei ${}\epsilon$, ${}0<\epsilon \leq {\frac {1}{3}}$, vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

gibt mit

$f(x)={\begin{cases}0{\text{ für }}x\leq 0\,,\\1{\text{ für }}x\geq \epsilon {\text{ und }}x\leq 1-\epsilon \,,\\0{\text{ für }}x\geq 1\,.\end{cases}}$