Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 22

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme sämtliche Taylor-Polynome der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme das Polynom

in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Funktion im Entwicklungspunkt der Ordnung .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der rationalen Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion

im Nullpunkt.


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von .

b) Skizziere für zwischen und .

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von .

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung von im Punkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Es sei eine im Punkt -fach differenzierbare Funktion. Zeige, dass das -te Taylor-Polynom zu im Punkt , geschrieben in der verschobenen Variablen , gleich dem -ten Taylor-Polynom der Funktion im Nullpunkt (geschrieben in der Variablen ) ist.


Aufgabe

Es sei eine Funktion. Vergleiche die polynomiale Interpolation zu gegebenen Punkten und die Taylor-Polynome vom Grad zu einem Punkt.


Aufgabe

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion das -te Taylor-Polynom von im Entwicklungspunkt nicht aus dem -ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt bestimmen kann.


Aufgabe

Es seien Polynome -ten Grades und es seien Punkte und natürliche Zahlen mit

Die Ableitungen von und in den Punkten sollen bis einschließlich zur -ten Ableitung übereinstimmen. Zeige .

Man mache sich zuerst die Aussage bei und und bei und für alle klar.

Aufgabe

Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.


Aufgabe *

  1. Zeige, dass man mit Hilfe von Beispiel 22.5 und drei Summanden (also ) auf dem Intervall eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler enthält.
  2. Zeige mit der Abschätzung aus (1), dass

    gilt.

  3. Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass

    ist?


Aufgabe

Bestimme die erste Nachkommastelle von mit Hilfe von Beispiel 22.5.


Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt .


Aufgabe

Es sei ein Polynom und

Zeige, dass die Ableitung ebenfalls von der Form

mit einem weiteren Polynom ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Zeige, dass für jedes die -te Ableitung die Eigenschaft

besitzt.


Aufgabe

Bestimme den Wendepunkt der Funktion




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und . Zeige


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung der Funktion

im Entwicklungspunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Polynom

in der neuen Variablen (also das umentwickelte Polynom) auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion

hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Nachkommastellen von mit Hilfe von Beispiel 22.5.

(Ganzzahlige Rechnungen gerne mit Taschenrechner ausführen.)

Aufgabe (6 Punkte)

Sei , , vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

gibt mit



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